ROTACIÓN DE LA TIERRA SOBRE SI MISMA.
La observación , en una noche serena , de los sucesivos aspectos que presenta el cielo , muestra que las estrellas forman figuras o constelaciones ,y que giran con movimiento uniforme en torno a un centro determinado del espacio , centro materializado con error inferior a un grado por la ESTRELLA POLAR . Tal es el movimiento diurno.
El eje de rotación o eje del mundo es fijo a la vez con respecto a las estrellas y con respecto a los objetos terrestres que nos rodean.
El eje del mundo o línea de los polos atraviesa la esfera celeste por dos puntos : los polos celestes Norte y Sur .
La inmensidad de su radio hace que cualquier punto de la Tierra , a pesar del desplazamiento de ésta sobre su órbita , se pueda considerar situado en el centro de la esfera celeste . Así por ejemplo , el eje del mundo pasa siempre por un observador terrestre.
Las estrellas que se ven siempre desde un lugar dado, se llaman circunpolares del lugar .Incluso la Polar describe alrededor del polo un pequeño círculo . Las estrellas próximas al ecuador celeste --- gran círculo perpendicular a la línea de los polos --- describen paralelos que cortan el círculo del horizonte , es decir , salen y se ponen , y lo hacen adelantándose 3 mn 56 s por día . Para un observador del hemisferio boreal , las constelaciones próximas al polo Sur , como la Cruz del Sur , son siempre invisibles .
LAS ESTACIONES .
El sol , en conjunto ,participa del movimiento diurno de las estrellas pero , si se le sitúa diariamente en la esfera celeste por sus coordenadas , nos daremos cuenta de que no ocupa una posición fija , sino que , en una año , describe en sentido directo una gran circulo llamado eclíptica .encontramos ahora la definición del punto ( y ) .: punto de intersección de la eclíptica con el ecuador , donde el sol pasa del hemisferio Sur al hemisferio Norte . El sol atraviesa así diferentes constelaciones . Los astrónomos de la Antigüedad habían dividido , la eclíptica en doce partes iguales o signos del zodiaco , cada uno de los cuales , con el nombre de la constelación correspondiente era designado con un signo particular.
ECUACIÓN DEL TIEMPO.
El ángulo horario del Sol verdadero difiere del del sol medio , u hora solar media , en una cantidad que se denomina ecuación del tiempo.
Ésta no comprende más que términos periódicos ; su signo se define por la relación .
Ángulo horario del sol medio = ángulo horario del sol verdadero + ecuación del tiempo .
Los valores extremos son aproximadamente + 15 y - 15 minutos de tiempo.
Así , al mediodía , hora civil de un lugar , el sol verdadero puede haber pasado hace 16 minutos o estar todavía a 14 minutos de su paso por el meridiano .
La ecuación del tiempo se anula cuatro veces por año ,
LOS PLANETAS .
Los planetas son astros que como la tierra y la luna , no son luminosos por sí mismos .Deben brillo a la luz del sol . Se distinguen en el cielo por su posición aparente , que no es fija con respecto a las estrellas . Están siempre en una banda bastante estrecha , a uno y otro lado de la eclíptica . Recorren más o menos , los signos del zodiaco en el sentido directo , pero con un movimiento complicado que presenta estacionamientos y retrocesos.
Estas particularidades se explican fácilmente , ya que se admite que son cuerpos que , como la TIERRA , giran alrededor del Sol. los planetas son de tamaño muy desigualdad , en su movimiento aparente , los planetas inferiores nunca se separan mucho del sol , mientras que los otros pueden tomar con respecto a él todas las direcciones . Dos astros están conjunción cuando de les ve en la misma dirección ,que es contada sobre la eclíptica o longitud eclíptica . Se hallan en oposición cuando se les ve en direcciones opuestas , y se dice que están en cuadratura cuando forman un ángulo recto con la dirección del Sol.
Órbitas de los planetas , leyes de Kepler .
Mientras que sus antecesores , que se atenían a los movimientos circulares uniformes , no llegaban a interpretar de forma satisfactoria las observaciones , Kepler , sometiendo al cálculo las exactas y numerosas medidas de su preceptor Tycho Brahé , descubrió las tres célebres leyes que llevan su nombre .
PRIMERA LEY .
Los planetas describen órbitas elípticas en uno de cuyos focos está el sol .
SEGUNDA LEY
Los planetas se mueven de tal forma que el radio que los une al Sol ( radio vector ) cubre superficies iguales en tiempos iguales.
TERCERA LEY .
Los cuadrados de los tiempos de revolución de los planetas son proporcionales como los cubos de sus distancias medias al sol..
La atracción universal , Ley de Newton . Perturbaciones .
Las leyes experimentales de Kepler se vuelven a encontrar matemáticamente como consecuencia de la ley de la tracción universal que ha inmortalizado el nombre de Newton : TODOS LOS CUERPOS SE ATRAEN EN RAZÓN DIRECTA DE SUS MASAS Y EN RAZON INVERSA DEL CUADRADO DE SU DISTANCIA
Cuando se estudia el movimiento de los cuerpos , se ve con más exactitud que cada uno de ellos describe una órbita kepleriana alrededor del centro de gravedad común .. En el movimiento de los planetas , este centro de gravedad está muy cerca del sol . Si existe un tercer cuerpo , el problema se complica enormemente . Para calcular el movimiento de uno de los cuerpos , se le supone en primer lugar solo en presencia del cuerpo que atrae y se considera el tercer astro como un astro perturbador . La presencia del sol es, por ejemplo , causa de fuertes perturbaciones en el movimiento de la luna alrededor de la Tierra..
DESCRIPCION DE CONJUNTO DEL UNIVERSO .
Nuestra galaxia --si la Tierra es representada por una bola de 1 cm de diámetro , la distancia Tierra ---Sol debería ser representada por 120 m , y el sol debería tener 1,10 m de diámetro . En esta escala , la estrella más próxima estaría a 27 000 km.. Las estrellas que vemos en el cielo , comprendidas las de la VIA LÁCTEA , están escalonadas en distancias hasta de 60 000 años luz , esta unidad es la distancia recorrida por la luz en un año a razón de 300 000 kilómetros por segundo. Todas las estrellas están agrupadas en volumen que tiene forma de disco abultado por su centro .Este cúmulo de estrellas ha recibido el nombre de galaxia y agrupa como mínimo 100 mil millones de estrellas , con una gran concentración en el centro .Su diámetro es de 80 000 años luz y el espesor del abultamiento central , de unos 15 000.
LAS MAREAS.
Las mareas se deben a las deformaciones que las atracciones ejercidas por la luna y el Sol hacen sufrir a la masa de los océanos .
La masa de los océanos toma así la forma de un huevo cuyo eje queda dirigido hacia la luna , y la rotación de la Tierra , que hace desfilar bajo los abultamientos las diferentes partes del globo , produce las mareas .......
Al girar la Luna en el mismo sentido que la Tierra unos 13 grados por día , tendremos dos mareas lunares en cada periodo de unas 24 h 50´. El sol impone una acción análoga a los océanos , pero de una manera menos marcada , ya que su acción es alrededor de dos veces más débil . ( 1 en vez de 2,2 ) Cuando ambos astros están en conjunción o en oposición , las dos mareas se ju..tan , lo que explica la importancia que toman en estas épocas llamadas de sicigias .
Las desnivelaciones de los océanos serán más fuertes para un punto M de la tierra arrastrado en la rotación del globo , ya que su trayectoria le hará pasar exactamente por debajo de las dos prominencias . Esto es lo que ocurre en las mareas de sicigia del equinoccio , pues el Sol y la Luna se encuentran entonces en el plano ecuatorial de la Tierra . El efecto de arrastre de la rotación de la Tierra produce un retraso de la manera con respecto al paso de los astros , la altura de la marea estática teórica es de 0,60m , pero el fenómeno es profundamente modificado por la forma de las costas y los periodos de resonancia de las cuencas océanicas .
LOS ECLIPSES .
Los eclipses se producen en el momento de la luna llena o de la luna nueva . Hay eclipse de sol cuando la luna se interpone entre la tierra y el sol .; hay eclipse de luna cuando este astro penetra en el cono de sombra de la tierra .
EL SOL.
Datos numéricos.----Distancia a la Tierra ; 23 439 radios terrestres , o sea 149 500 000 km.; diámetro ; 32´ ; radio : 109 radios terrestres ; masa . 333 432 veces la masa de la tierra .
Rotación del sol .El eje de rotación está inclinado 7 grados sobre la normal a la eclíptica .El sol no gira como un cuerpo sólido , su periodo de rotación crece con la latitud ; de 25 días en el ecuador , pasa a 34 días en los 80 grados de latitud .
ESPECTRO SOLAR .
Entre las 25 000 rayas aproximadamente del espectro solar , se han identificado la mitad , y se ha dado como evidente la existencia en el sol de 66 elementos simples, de los 92 de la química ; son metales en su mayor parte. El estudio de la amplitud de las diferentes rayas permite evaluar en 2,5 g la masa total de gas de cada centímetro cuadrado de fotosfera ( en lugar de 1 000 g para la tierra ) Sobre estos 2,5 g, hay de hidrógeno ( o sea 80 p 100 de los átomos ) y 1 g de helio ( o sea 16 p . 100 de los átomos ) .Algunas rayas de calcio son particularmente intensas , pese a que la proporción de ese elemento es muy pequeña.
IRRADIACIÓN SOLAR ---TEMPERATURA .
A la distancia que se encuentra la Tierra , cada centímetro cuadrado de su superficie expuesta al Sol recibe 1,93 calorías por minuto . Ampliando este resultado a toda la esfera centrada sobre el Sol y comparándolo con la masa , se ve que cada gramo del Sol emite una energía de 2 ergios por segundo.
Si se le aplica la relación fundamental de la relatividad limitada , que asimila la energía a la masa m ; U = mc2 ( siendo c la velocidad de la luz ) , se establece que la pérdida total de masa del Sol por irradiación es de 4 millones de toneladas por segundo, por fabuloso que parezca este número , permitiría al Sol una duración de 10 a la 13 años , si toda su masa pudiese transformarse en radiación . La radiación solar corresponde a una temperatura de 5 740 grados absolutos en la fotosfera .
martes, 8 de septiembre de 2015
sábado, 29 de agosto de 2015
ASTRONOMÍA
La astronomía fue floreciente entre los griegos . Uno de éstos THALES de MILETO ( ¿ 636-546 ? a. de J. C. ) descubrió las causas de los eclipses .PITAGORAS ( hacia 570- 496 a de J.C ) enseño la esfericidad de la tierra , su rotación y su movimiento .
ERATÓSTENES ( 275 - 194 a de J,C, ) la dimensión del globo terrestre .
PTOLOMEO . reunió en su Almagesto todos los conocimientos de sus antecesores y descubrió a su vez la evección o desigualdad periódica de la órbita de la luna .
En 1507 COPÉRNICO ( 1473 -------1543) estableció que el sol se halla en el centro del sistema planetario , y que los planetas giran a su alrededor
KEPLER ( 1571 - 1630 ) resumió la armonía de los mundos celestes en las leyes inmortales que llevan su nombre . ( la astronomía física )
GALILEO ( 1564 - 1642 ) a él se deben asimismo las leyes de la aceleración y el conocimiento del movimiento de libración de la luna .
NEWTON ( 1642 -1727 ) dio a conocer el principio general de la gravitación universal definió las leyes del movimiento de los cuerpos celestes , también inventó el telescopio que lleva su nombre y descubrió el espectro solar
EINSTEIN --con la teoría de la relatividad al explicar el avance de los perihelios de las órbitas planetarias .-- problemas que la mecánica celeste no es capaz de resolver
El físico norteamericano BETHE estableció en 1939 el ciclo del carbono , fuente de la energía irradiada por las estrellas
UNIDADES
Definiremos posteriormente al año -luz , unidad de distancia utilizada para las estrellas ,los astrónomos emplean generalmente otra unidad , fundada en la distancia media de la Tierra al sol a ( unidad astronómica en el interior del sistema solar ), o sea el parsec o distancia en la que es necesario colocar normalmente a para verla bajo un ángulo de I´´ sexagesimal . I parsec = 3,26 años -luz .
MAGNITUD APARENTE DE LAS ESTRELLAS .
El resplandor de una estrella se mide como el de un foco luminoso terrestre y está caracterizado por la magnitud de la estrella.
La magnitud aumenta una unidad en cuanto el resplandor se divide por una constante K ,cuyo valor es de 2,5 aproximadamente .Esta constante ha sido elegida de forma que se puedan conservar los valores básicos del catálogo de PTOLOMEO .donde las estrellas visibles estaban clasificadas en 6 magnitudes .
MAGNITUD ABSOLUTA DE LAS ESTRELLAS .
La magnitud aparente depende de la distancia de la estrella ; no permite compararlas entre si . Se llaman magnitudes absolutas los valores que podrían obtenerse llevándolas todas a una misma distancia ., para lo cual se adopta el valor de 10 parsec . La magnitud absoluta del sol es de 4,7 ; de ahí su calidad de estrella de luminosidad media
ESPECTROGRAFIA
El haz luminoso que atraviesa un prisma forma un espectro .Cada color del espectro está caracterizado por su longitud de onda expresada en angstrom ( A° ) la espectrografía forma parte de la física
Efecto Fotoeléctrico.
Las radiaciones luminosas son capaces de arrancar electrones a ciertos átomos .En el caso de un gas , sólo las radiaciones ultravioleta son capaces de provocar su ionización . La capa ionizada de la alta atmósfera terrestre o ionosfera se debe por esto , a la acción de los rayos ultravioleta de la luz solar .
EL MOVIMIENTO DE LOS PLANETAS .
Como se verá por las leyes de KEPLER , que rige el movimiento de los planetas y son consecuencia de la ley de atracción universal de NEWTON , aun sin entrar en el cálculo propio de los movimientos Keplerianos se puede demostrar en un caso particular , el de la rotación uniforme en una órbita circular , cómo la tercera ley de Kepler se deduce del principio de la tracción universal y cómo está ligada a la masa del cuerpo atrayente .
LA MECÁNICA CELESTE Y LA RELATIVIDAD .
La mecánica clásica se revela impotente para resolver el problema planteado por el equilibrio general del universo con sus condensaciones de materia en estrellas y en galaxias.
La relatividad limitada fue imaginada por Einstein para reunir en una síntesis lógica la mecánica y el electromagnetismo .
Las ecuaciones de Maxwuell -Lorentz , que sintetizan el conjunto de las propiedades electromagnéticas , se modifican notablemente cuando en ellas se efectúa un cambio de coordenadas mediante el paso de un triedro en traslación uniforme en el sistema de GALILEO ( caracterizado por la distinción del espacio y el tiempo y la geometría de Euclides ) . En la relatividad limitada ( limitada al caso del movimiento uniforme ) , el tiempo es relativo y depende del observador . La masa de un cuerpo aumenta con la velocidad . Esta masa no es más que uno de los aspectos de la energía , de la que es una forma muy condensada.
La teoría de la relatividad generalizada engloba a su vez los fenómenos de la gravitación e interpreta la identificación de la masa que pesa y de la masa inerte , que la física clásica menciona sin explicarla . No hace distinción entre el espacio y el tiempo . El universo se convierte en un espacio- tiempo de cuatro dimensiones .Su espacio es curvo , y la noción de línea recta pierde su sentido. Sólo a infinita distancia de toda materia , y de toda irradiación , el espacio - tiempo vuelve a ser euclidiano .
En el sistema solar , sólo la masa del SOL es lo bastante importante para "curvar el espacio ," las estrellas se encuentran demasiado lejos para actuar , la curvatura del espacio en las proximidades del Sol arrastra los planetas hacia este astro como si los atrajera . La ley de NEWTON es todavía perfectamente válida , salvo en la proximidad inmediata del Sol . Solamente aparecen divergencias sensibles a causa de dos fenómenos que la mecánica clásica es incapaz de interpretar y que permiten inclinarse sin ningún género de duda a favor de la ley de la relatividad de la gravitación .
EL MOVIMIENTO DE LA LUNA .
La luna gira alrededor de la tierra con un movimiento Kepleriano . El aplastamiento de la órbita hace variar su distancia de 56 a 64 radios terrestres . Su diámetro medio aparente es de 31 " y su radio , en consecuencia , de 1738 kilómetros .
En la fase de luna llena , nuestro satélite se encuentra en la esfera celeste en oposición al sol , es decir , en el lugar en que el sol se encontrará seis meses después . Esto explica que en invierno la luna llena esté en el cielo tan alta como el sol en el verano .
Mientras el aumento de la luna es pequeño , el resto del disco está débilmente alumbrado por la tierra ,. ( exactamente como la Luna nos alumbra ) es la llamada luz cenicienta.
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ERATÓSTENES ( 275 - 194 a de J,C, ) la dimensión del globo terrestre .
PTOLOMEO . reunió en su Almagesto todos los conocimientos de sus antecesores y descubrió a su vez la evección o desigualdad periódica de la órbita de la luna .
En 1507 COPÉRNICO ( 1473 -------1543) estableció que el sol se halla en el centro del sistema planetario , y que los planetas giran a su alrededor
KEPLER ( 1571 - 1630 ) resumió la armonía de los mundos celestes en las leyes inmortales que llevan su nombre . ( la astronomía física )
GALILEO ( 1564 - 1642 ) a él se deben asimismo las leyes de la aceleración y el conocimiento del movimiento de libración de la luna .
NEWTON ( 1642 -1727 ) dio a conocer el principio general de la gravitación universal definió las leyes del movimiento de los cuerpos celestes , también inventó el telescopio que lleva su nombre y descubrió el espectro solar
EINSTEIN --con la teoría de la relatividad al explicar el avance de los perihelios de las órbitas planetarias .-- problemas que la mecánica celeste no es capaz de resolver
El físico norteamericano BETHE estableció en 1939 el ciclo del carbono , fuente de la energía irradiada por las estrellas
UNIDADES
Definiremos posteriormente al año -luz , unidad de distancia utilizada para las estrellas ,los astrónomos emplean generalmente otra unidad , fundada en la distancia media de la Tierra al sol a ( unidad astronómica en el interior del sistema solar ), o sea el parsec o distancia en la que es necesario colocar normalmente a para verla bajo un ángulo de I´´ sexagesimal . I parsec = 3,26 años -luz .
MAGNITUD APARENTE DE LAS ESTRELLAS .
El resplandor de una estrella se mide como el de un foco luminoso terrestre y está caracterizado por la magnitud de la estrella.
La magnitud aumenta una unidad en cuanto el resplandor se divide por una constante K ,cuyo valor es de 2,5 aproximadamente .Esta constante ha sido elegida de forma que se puedan conservar los valores básicos del catálogo de PTOLOMEO .donde las estrellas visibles estaban clasificadas en 6 magnitudes .
MAGNITUD ABSOLUTA DE LAS ESTRELLAS .
La magnitud aparente depende de la distancia de la estrella ; no permite compararlas entre si . Se llaman magnitudes absolutas los valores que podrían obtenerse llevándolas todas a una misma distancia ., para lo cual se adopta el valor de 10 parsec . La magnitud absoluta del sol es de 4,7 ; de ahí su calidad de estrella de luminosidad media
ESPECTROGRAFIA
El haz luminoso que atraviesa un prisma forma un espectro .Cada color del espectro está caracterizado por su longitud de onda expresada en angstrom ( A° ) la espectrografía forma parte de la física
Efecto Fotoeléctrico.
Las radiaciones luminosas son capaces de arrancar electrones a ciertos átomos .En el caso de un gas , sólo las radiaciones ultravioleta son capaces de provocar su ionización . La capa ionizada de la alta atmósfera terrestre o ionosfera se debe por esto , a la acción de los rayos ultravioleta de la luz solar .
EL MOVIMIENTO DE LOS PLANETAS .
Como se verá por las leyes de KEPLER , que rige el movimiento de los planetas y son consecuencia de la ley de atracción universal de NEWTON , aun sin entrar en el cálculo propio de los movimientos Keplerianos se puede demostrar en un caso particular , el de la rotación uniforme en una órbita circular , cómo la tercera ley de Kepler se deduce del principio de la tracción universal y cómo está ligada a la masa del cuerpo atrayente .
LA MECÁNICA CELESTE Y LA RELATIVIDAD .
La mecánica clásica se revela impotente para resolver el problema planteado por el equilibrio general del universo con sus condensaciones de materia en estrellas y en galaxias.
La relatividad limitada fue imaginada por Einstein para reunir en una síntesis lógica la mecánica y el electromagnetismo .
Las ecuaciones de Maxwuell -Lorentz , que sintetizan el conjunto de las propiedades electromagnéticas , se modifican notablemente cuando en ellas se efectúa un cambio de coordenadas mediante el paso de un triedro en traslación uniforme en el sistema de GALILEO ( caracterizado por la distinción del espacio y el tiempo y la geometría de Euclides ) . En la relatividad limitada ( limitada al caso del movimiento uniforme ) , el tiempo es relativo y depende del observador . La masa de un cuerpo aumenta con la velocidad . Esta masa no es más que uno de los aspectos de la energía , de la que es una forma muy condensada.
La teoría de la relatividad generalizada engloba a su vez los fenómenos de la gravitación e interpreta la identificación de la masa que pesa y de la masa inerte , que la física clásica menciona sin explicarla . No hace distinción entre el espacio y el tiempo . El universo se convierte en un espacio- tiempo de cuatro dimensiones .Su espacio es curvo , y la noción de línea recta pierde su sentido. Sólo a infinita distancia de toda materia , y de toda irradiación , el espacio - tiempo vuelve a ser euclidiano .
En el sistema solar , sólo la masa del SOL es lo bastante importante para "curvar el espacio ," las estrellas se encuentran demasiado lejos para actuar , la curvatura del espacio en las proximidades del Sol arrastra los planetas hacia este astro como si los atrajera . La ley de NEWTON es todavía perfectamente válida , salvo en la proximidad inmediata del Sol . Solamente aparecen divergencias sensibles a causa de dos fenómenos que la mecánica clásica es incapaz de interpretar y que permiten inclinarse sin ningún género de duda a favor de la ley de la relatividad de la gravitación .
EL MOVIMIENTO DE LA LUNA .
La luna gira alrededor de la tierra con un movimiento Kepleriano . El aplastamiento de la órbita hace variar su distancia de 56 a 64 radios terrestres . Su diámetro medio aparente es de 31 " y su radio , en consecuencia , de 1738 kilómetros .
En la fase de luna llena , nuestro satélite se encuentra en la esfera celeste en oposición al sol , es decir , en el lugar en que el sol se encontrará seis meses después . Esto explica que en invierno la luna llena esté en el cielo tan alta como el sol en el verano .
Mientras el aumento de la luna es pequeño , el resto del disco está débilmente alumbrado por la tierra ,. ( exactamente como la Luna nos alumbra ) es la llamada luz cenicienta.
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lunes, 24 de agosto de 2015
LAS UNIDADES DE LA MECÁNICA
Las relaciones de la mecánica , así como las de la física , demuestran que se puede deducir todas las unidades partiendo de las unidades de tres magnitudes fundamentales . Los sistemas en uso son definidos por las iniciales de las tres unidades fundamentales . El sistema universalmente adoptado por matemáticos y físicos es el M.T.S. sus tres magnitudes y unidades fundamentales son : la LONGITUD , con el metro por unidad , la MASA ,con la tonelada por unidad , y el TIEMPO , con el segundo por unidad.
El sistema M . T. S. ha reemplazado al sistema C.G. S. , todavía bastante empleado , cuyas unidades fundamentales son el centímetro , el gramo y el segundo.
En la práctica , se emplea muy a menudo el sistema técnico o M.K.S. cuyas magnitudes y unidades fundamentales son : la longitud con el metro por unidad , la fuerza con el kilogramo --- fuerza por unidad , y el tiempo con el segundo por unidad . Como se ve , este sistema difiere de los anteriores en que se adopta como magnitud fundamental la fuerza en lugar de la masa.
Para las unidades de longitud y de masa véase sistema métrico , en Aritmética y Algebra .
La unidad de aceleración es el metro por segundo ( M,T,S, ) y M.K.S.) : es la aceleración de un movimiento uniformemente acelerado cuya velocidad crece un metro por segundo . En el sistema C. G. S. la unidad de aceleración es el centímetro por segundo : por ejemplo g = 9,81 en Paris en el sistema M. T. S. y 981 en el sistema C.G.S. .
FUERZA .
La unidad de fuerza es el ESTENIO ( sn ).Es la fuerza que es necesario aplicar , durante un segundo , a una cuerpo de masa igual a una tonelada para que la aceleración resultante sea igual a un metro por segundo.
Unidad C.G.S. : la dina , es la fuerza que debe aplicarse a un cuerpo de masa igual a un gramo para que la aceleración resultante sea igual a un centímetro por segundo
( 1 sn = 100 000 000 dinas ) . Unidad M.K.S. :el kilogramo - fuerza , que es la fuerza con que una masa igual a un kilogramo es atraída por la tierra.
ENERGÍA O TRABAJO.
Sistema M.T.S. : el kilojulio ( kj )es el trabajo producido por una estenio cuando su punto de aplicación se desplaza un metro en dirección de la fuerza .
el julio = 1
--------- kj
1 000
Unidad .C.G.S.: el ergio , trabajo producido por una dina cuando su punto de aplicación se desplaza un centímetro en la dirección de la fuerza .
1 hj = 10 000 000 000 ergios .
Unidad M.K.S. : el kilogramo es el trabajo producido por un kilogramo - fuerza cuando su punto de aplicación se desplaza un metro en la dirección de la fuerza.
POTENCIA
Sistema M.T,S. : el kilowatio , ( kW ) es la potencia que produce 1 kilojulio por segundo . El watio produce 1 julio por segundo.
Sistema M.K.S. : el poncelet , potencia que corresponde a 100 kilográmetros por segundo ; el caballo de vapor , potencia que corresponde a 75 kilográmetros por segundo.
PRESIÓN
Sistema M.T.S. : la pieza ( pz ) , es la presión uniforme que , repartida sobre una superficie de 1 metro cuadrado , produce un esfuerzo total de 1 estenio .
Sistema C.G. S. : la baria ( 1 pieza = 10 000 barias ).
ECUACIÓN DE DIMENSIONES
La expresión simbólica que define una cierta magnitud derivada en función de las fundamentales recibe el nombre de ecuación de dimensiones de aquélla . Podemos expresar simbólicamente las magnitudes fundamentales de esta forma : L = longitud , M = masa , T = tiempo.
La velocidad , limite del cociente de una longitud por el tiempo , tiene por ecuación de dimensiones
L
-------
T la aceleración , limite del cociente de la velocidad por el tiempo , tiene
por ecuación de dimensiones
L
------
T2
la de la fuerza es M.L
------
T2
la de la potencia M.L
-------
T2
la de la presión M.
-------
L x T2.
Las ecuaciones de dimensiones sirven para efectuar cambios de unidades y permiten también relacionar distintos conceptos que antes de su estudio . parecían no tener ninguna relación .
El sistema M . T. S. ha reemplazado al sistema C.G. S. , todavía bastante empleado , cuyas unidades fundamentales son el centímetro , el gramo y el segundo.
En la práctica , se emplea muy a menudo el sistema técnico o M.K.S. cuyas magnitudes y unidades fundamentales son : la longitud con el metro por unidad , la fuerza con el kilogramo --- fuerza por unidad , y el tiempo con el segundo por unidad . Como se ve , este sistema difiere de los anteriores en que se adopta como magnitud fundamental la fuerza en lugar de la masa.
Para las unidades de longitud y de masa véase sistema métrico , en Aritmética y Algebra .
La unidad de aceleración es el metro por segundo ( M,T,S, ) y M.K.S.) : es la aceleración de un movimiento uniformemente acelerado cuya velocidad crece un metro por segundo . En el sistema C. G. S. la unidad de aceleración es el centímetro por segundo : por ejemplo g = 9,81 en Paris en el sistema M. T. S. y 981 en el sistema C.G.S. .
FUERZA .
La unidad de fuerza es el ESTENIO ( sn ).Es la fuerza que es necesario aplicar , durante un segundo , a una cuerpo de masa igual a una tonelada para que la aceleración resultante sea igual a un metro por segundo.
Unidad C.G.S. : la dina , es la fuerza que debe aplicarse a un cuerpo de masa igual a un gramo para que la aceleración resultante sea igual a un centímetro por segundo
( 1 sn = 100 000 000 dinas ) . Unidad M.K.S. :el kilogramo - fuerza , que es la fuerza con que una masa igual a un kilogramo es atraída por la tierra.
ENERGÍA O TRABAJO.
Sistema M.T.S. : el kilojulio ( kj )es el trabajo producido por una estenio cuando su punto de aplicación se desplaza un metro en dirección de la fuerza .
el julio = 1
--------- kj
1 000
Unidad .C.G.S.: el ergio , trabajo producido por una dina cuando su punto de aplicación se desplaza un centímetro en la dirección de la fuerza .
1 hj = 10 000 000 000 ergios .
Unidad M.K.S. : el kilogramo es el trabajo producido por un kilogramo - fuerza cuando su punto de aplicación se desplaza un metro en la dirección de la fuerza.
POTENCIA
Sistema M.T,S. : el kilowatio , ( kW ) es la potencia que produce 1 kilojulio por segundo . El watio produce 1 julio por segundo.
Sistema M.K.S. : el poncelet , potencia que corresponde a 100 kilográmetros por segundo ; el caballo de vapor , potencia que corresponde a 75 kilográmetros por segundo.
PRESIÓN
Sistema M.T.S. : la pieza ( pz ) , es la presión uniforme que , repartida sobre una superficie de 1 metro cuadrado , produce un esfuerzo total de 1 estenio .
Sistema C.G. S. : la baria ( 1 pieza = 10 000 barias ).
ECUACIÓN DE DIMENSIONES
La expresión simbólica que define una cierta magnitud derivada en función de las fundamentales recibe el nombre de ecuación de dimensiones de aquélla . Podemos expresar simbólicamente las magnitudes fundamentales de esta forma : L = longitud , M = masa , T = tiempo.
La velocidad , limite del cociente de una longitud por el tiempo , tiene por ecuación de dimensiones
L
-------
T la aceleración , limite del cociente de la velocidad por el tiempo , tiene
por ecuación de dimensiones
L
------
T2
la de la fuerza es M.L
------
T2
la de la potencia M.L
-------
T2
la de la presión M.
-------
L x T2.
Las ecuaciones de dimensiones sirven para efectuar cambios de unidades y permiten también relacionar distintos conceptos que antes de su estudio . parecían no tener ninguna relación .
martes, 11 de agosto de 2015
DINÁMICA
Definición .
La dinámica estudia los movimientos en relación con las causas que los producen.
Principios de la dinámica ---- Al comienzo de la dinámica , enunciaremos los principios que son aplicados en ella. Estos principios han sido deducidos de la observación y de la experiencia .Su validez proviene principalmente del acuerdo que existe entre los hechos reales y las consecuencias que se han deducido . En el estudio de la estática hemos utilizado ya algunos de ellos.
La fuerza más conocida es el peso , debido , en su mayor parte a la atracción de la tierra : ésta es la causa que origina la caída de los cuerpos . Un punto material libre y pesante , sometido únicamente a la acción de su peso , cae : el estudio de la caída de los cuerpos ha sido de una gran importancia para descubrir y estudiar estos principios .
¿Cómo influyen las fuerzas sobre los movimientos ?. Citemos una experiencia elemental : cuando un ciclista rueda sobre una carretera recta, horizontal , bien acondicionada y sin viento sobre una bicicleta de " piñón libre " , no tiene necesidad de hacer gran esfuerzo para mantener su velocidad ; algunos golpes de pedal , de vez en cuando , son suficientes . Por el contrario , si quiere ir más deprisa o más despacio , tendrá que realizar un esfuerzo.
De las experiencias realizadas con precisión ( las de Morín ATWOOD , planos inclinados ) se ha deducido la siguiente conclusión de gran importancia : las fuerzas son las causas que originan las variaciones de velocidad , o ,dicho de otra forma , las fuerzas son las causas que originan las aceleraciones .
MASA.
El concepto de masa es muy importante . Sabemos , por la experiencia diaria , que una misma fuerza aplicada a dos objetos diferentes da lugar a efectos distintos : si el ciclista del ejemplo anterior arrastrara un pequeño remolque sobre una carretera en las mismas condiciones
, alcanzaría su velocidad de régimen en un tiempo mayor , tanto mayor cuanto más cargado este el remolque . Mediante experiencias realizadas con precisión , se han medido las aceleraciones producidas en un mismo objeto por fuerzas distintas . Se ha comprobado que si un mismo objeto está sometido a fuerzas diferentes F1 , F2....Fn , toma distintas aceleraciones Y1, Y2 , Yn dirigidas en el mismo sentido que las fuerzas y tales que las aceleraciones .
F1 F2 F3 Fn
---- = ------ = ------ = ...... = ------ son iguales .
Y1 Y2 Y3 Yn
El valor de esta constante es , por lo tanto , una característica peculiar del objeto considerado ; se puede decir que ella caracteriza , desde el punto de vista de la mecánica , la materia del objeto . Esta constante se llama MASA DEL OBJETO , La masa es rigurosamente constante siempre y cuando quede probado que el objeto no sufre transformaciones que alteren su naturaleza .
El número que nos da medida de la masa de un objeto es la relación entre ésta y otra masa que se toma por unidad .
Todo cuerpo , todo elemento material tiene , en un sistema de unidades determinado , un coeficiente positivo que es su masa.
PRINCIPIO DE LA INERCIA ( KEPLER )
Si un punto material no está sometido a ninguna acción exterior , su aceleración es nula ..
Por lo tanto , si un cuerpo está en reposo fuera de toda acción exterior , permanecerá indefinidamente en dicho estado ; si está en movimiento , éste será rectilíneo uniforme .
PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE LA MECANICA
Si un punto material de masa ( m ) tiene una aceleración ( y ) está sometida a una fuerza ( F) definida en intensidad , dirección y sentido por la igualdad vectorial F = m.y .
Recíprocamente , si un punto material de masa ( m ) esta sometido a una fuerza ( F ) tendrá una aceleración definida en intensidad , dirección y sentido por la igualdad vectorial.
PRINCIPIO DE LA COMPOSICION DE LAS FUERZAS GALILEO .
Si varias fuerzas F1 , F2 ,.......Fn que actúan aisladamente sobre un mismo punto material m,, producen aceleraciones Y1, Y2 .....Yn , la acción simultánea de todas ellas sobre un punto producirá una aceleración Y qué será la resultante de las aceleraciones Y1, Y2 ,....Yn .
Dicho de otra manera : varias formas que actúan simultáneamente sobre un mismo punto originan el mismo efecto que su resultante.
PRINCIPIO DE LA IGUALDAD DE LA ACCIÓN Y LA REACCIÓN.
Si un cuerpo material A ejerce una acción sobre otro B , éste ejerce sobre el primero otra acción igual en magnitud y dirección , pero de sentido opuesto.
Observación , hemos basado anteriormente la estática sobre estos principios . Se puede considerar la estática como un caso particular de la dinámica : aquel en , que estando los cuerpos en reposo , las aceleraciones son nulas.
GRAVEDAD PESO.
Hemos señalado lo que es la aceleración de la gravedad , también hemos establecido que esta aceleración , era consecuencia de la atracción y del movimiento de rotación de la tierra .
El peso de un objeto es el producto de su masa por la aceleración de la gravedad .
CAMPO DE FUERZAS.
Se llama campo de fuerzas un espacio , limitado o ilimitado , en el que cada punto , un objeto material está sometido a una fuerza que sólo depende de la posición de dicho punto.-
La fuerza viva de un punto material en movimiento es el producto mv2 de su masa por el cuadrado de su velocidad en el instante considerado.
Se llama energía cinética la mitad de su fuerza viva .
TEOREMA DE LAS FUERZAS VIVAS
La variación de la energía cinética ( o semifuerza viva ) de un punto en movimiento , durante cierto intervalo de tiempo , es igual al trabajo realizado por las fuerzas aplicadas al punto durante el mismo intervalo.
MOVIMIENTO DE LOS PLANETAS .
Partiendo de las leyes de KEPLER , se deduce que la fuerza que origina el movimiento de los planetas es una fuerza que pasa por el centro del sol y es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia . Recíprocamente , si se trata de hallar el movimiento de un móvil atraído por un punto fijo con una fuerza inversamente proporcional al cuadrado de la distancia , se obtiene , por cálculos que sobrepasa el nivel de este estudio y que tienen como base la partida las dos integrales primeras de la ley de las áreas y de las fuerzas vivas , que la trayectoria es una elipse.
La dinámica estudia los movimientos en relación con las causas que los producen.
Principios de la dinámica ---- Al comienzo de la dinámica , enunciaremos los principios que son aplicados en ella. Estos principios han sido deducidos de la observación y de la experiencia .Su validez proviene principalmente del acuerdo que existe entre los hechos reales y las consecuencias que se han deducido . En el estudio de la estática hemos utilizado ya algunos de ellos.
La fuerza más conocida es el peso , debido , en su mayor parte a la atracción de la tierra : ésta es la causa que origina la caída de los cuerpos . Un punto material libre y pesante , sometido únicamente a la acción de su peso , cae : el estudio de la caída de los cuerpos ha sido de una gran importancia para descubrir y estudiar estos principios .
¿Cómo influyen las fuerzas sobre los movimientos ?. Citemos una experiencia elemental : cuando un ciclista rueda sobre una carretera recta, horizontal , bien acondicionada y sin viento sobre una bicicleta de " piñón libre " , no tiene necesidad de hacer gran esfuerzo para mantener su velocidad ; algunos golpes de pedal , de vez en cuando , son suficientes . Por el contrario , si quiere ir más deprisa o más despacio , tendrá que realizar un esfuerzo.
De las experiencias realizadas con precisión ( las de Morín ATWOOD , planos inclinados ) se ha deducido la siguiente conclusión de gran importancia : las fuerzas son las causas que originan las variaciones de velocidad , o ,dicho de otra forma , las fuerzas son las causas que originan las aceleraciones .
MASA.
El concepto de masa es muy importante . Sabemos , por la experiencia diaria , que una misma fuerza aplicada a dos objetos diferentes da lugar a efectos distintos : si el ciclista del ejemplo anterior arrastrara un pequeño remolque sobre una carretera en las mismas condiciones
, alcanzaría su velocidad de régimen en un tiempo mayor , tanto mayor cuanto más cargado este el remolque . Mediante experiencias realizadas con precisión , se han medido las aceleraciones producidas en un mismo objeto por fuerzas distintas . Se ha comprobado que si un mismo objeto está sometido a fuerzas diferentes F1 , F2....Fn , toma distintas aceleraciones Y1, Y2 , Yn dirigidas en el mismo sentido que las fuerzas y tales que las aceleraciones .
F1 F2 F3 Fn
---- = ------ = ------ = ...... = ------ son iguales .
Y1 Y2 Y3 Yn
El valor de esta constante es , por lo tanto , una característica peculiar del objeto considerado ; se puede decir que ella caracteriza , desde el punto de vista de la mecánica , la materia del objeto . Esta constante se llama MASA DEL OBJETO , La masa es rigurosamente constante siempre y cuando quede probado que el objeto no sufre transformaciones que alteren su naturaleza .
El número que nos da medida de la masa de un objeto es la relación entre ésta y otra masa que se toma por unidad .
Todo cuerpo , todo elemento material tiene , en un sistema de unidades determinado , un coeficiente positivo que es su masa.
PRINCIPIO DE LA INERCIA ( KEPLER )
Si un punto material no está sometido a ninguna acción exterior , su aceleración es nula ..
Por lo tanto , si un cuerpo está en reposo fuera de toda acción exterior , permanecerá indefinidamente en dicho estado ; si está en movimiento , éste será rectilíneo uniforme .
PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE LA MECANICA
Si un punto material de masa ( m ) tiene una aceleración ( y ) está sometida a una fuerza ( F) definida en intensidad , dirección y sentido por la igualdad vectorial F = m.y .
Recíprocamente , si un punto material de masa ( m ) esta sometido a una fuerza ( F ) tendrá una aceleración definida en intensidad , dirección y sentido por la igualdad vectorial.
PRINCIPIO DE LA COMPOSICION DE LAS FUERZAS GALILEO .
Si varias fuerzas F1 , F2 ,.......Fn que actúan aisladamente sobre un mismo punto material m,, producen aceleraciones Y1, Y2 .....Yn , la acción simultánea de todas ellas sobre un punto producirá una aceleración Y qué será la resultante de las aceleraciones Y1, Y2 ,....Yn .
Dicho de otra manera : varias formas que actúan simultáneamente sobre un mismo punto originan el mismo efecto que su resultante.
PRINCIPIO DE LA IGUALDAD DE LA ACCIÓN Y LA REACCIÓN.
Si un cuerpo material A ejerce una acción sobre otro B , éste ejerce sobre el primero otra acción igual en magnitud y dirección , pero de sentido opuesto.
Observación , hemos basado anteriormente la estática sobre estos principios . Se puede considerar la estática como un caso particular de la dinámica : aquel en , que estando los cuerpos en reposo , las aceleraciones son nulas.
GRAVEDAD PESO.
Hemos señalado lo que es la aceleración de la gravedad , también hemos establecido que esta aceleración , era consecuencia de la atracción y del movimiento de rotación de la tierra .
El peso de un objeto es el producto de su masa por la aceleración de la gravedad .
CAMPO DE FUERZAS.
Se llama campo de fuerzas un espacio , limitado o ilimitado , en el que cada punto , un objeto material está sometido a una fuerza que sólo depende de la posición de dicho punto.-
La fuerza viva de un punto material en movimiento es el producto mv2 de su masa por el cuadrado de su velocidad en el instante considerado.
Se llama energía cinética la mitad de su fuerza viva .
TEOREMA DE LAS FUERZAS VIVAS
La variación de la energía cinética ( o semifuerza viva ) de un punto en movimiento , durante cierto intervalo de tiempo , es igual al trabajo realizado por las fuerzas aplicadas al punto durante el mismo intervalo.
MOVIMIENTO DE LOS PLANETAS .
Partiendo de las leyes de KEPLER , se deduce que la fuerza que origina el movimiento de los planetas es una fuerza que pasa por el centro del sol y es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia . Recíprocamente , si se trata de hallar el movimiento de un móvil atraído por un punto fijo con una fuerza inversamente proporcional al cuadrado de la distancia , se obtiene , por cálculos que sobrepasa el nivel de este estudio y que tienen como base la partida las dos integrales primeras de la ley de las áreas y de las fuerzas vivas , que la trayectoria es una elipse.
sábado, 8 de agosto de 2015
CINEMÁTICA.
Objetivo de la cinemática --La cinemática es la parte de la mecánica que estudia el movimiento de los cuerpos en función del tiempo e independientemente de las causas que lo producen.
El movimiento es un fenómeno esencialmente relativo , siempre se estudia respecto a un sistema de referencia . Un marinero que anda sobre su barca , tiene , si se toma como sistema de referencia , cierto movimiento con relación a ella : este movimiento lo notará un observador que esté también sobre la barca , pero otro observador situado en la orilla percibirá un movimiento distinto : es el movimiento con relación a la tierra tomada como referencia .
OBSERVACION 1---La mayoría de los movimientos reales se estudian tomando la tierra como sistema de referencia . En astronomía se toma para ciertas cuestiones un sistema de referencia ligado al sistema solar , planteándose así -- éste es uno de los problemas más delicados de la ciencia actual -- la existencia de un sistema de referencia absoluto.
2-----Cuando en estática hemos estudiado el equilibrio , es decir ,la ausencia de movimiento en los cuerpos , se ha hecho implícitamente respecto a un sistema de referencia .
Para tratar mediante el cálculo las cuestiones establecidas por la cinemática , se toman sistemas de referencia ligados a los sistemas de coordenadas . Un punto está en movimiento cuando sus coordenadas son funciones variables del tiempo . Se llama trayectoria el lugar geométrico de los puntos que , ligados al sistema de referencia , indican las posiciones sucesivas que ocupa el punto en movimiento.
MEDIDA ALGEBRAICA DEL TIEMPO.
Se elige un instante por origen y una unidad ( por ejemplo , es segundo ) .Cada instante queda determinado por un número algebraico . Si un hecho tiene lugar después del instante tomado como origen , se determina por un número positivo que tiene como valor absoluto el intervalo de tiempo que separa el instante origen de aquel en que sucede el hecho . Si tiene lugar antes del instante origen , queda determinado por un número negativo . Los números algebraicos determinan de esta forma las fechas de los sucesos.
La duración de un fenómeno es la diferencia entre la fecha de su terminación y la de su comienzo.
MOVIMIENTO RECTILÍNEO.
Definición ---Los movimientos rectilíneos son aquellos que tienen por trayectoria una recta . Si se orienta esta recta , y se elige otra sobre la misma , un punto de referencia como origen , un móvil sobre dicha recta tendrá una abscisa que será función del tiempo..
MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME .
Es el movimiento rectilíneo en el que los espacios recorridos por el móvil , que va siempre en el mismo sentido . son proporcionales a los tiempos empleados en recorrerlos . La relación constante entre el espacio y el tiempo , es la velocidad del movimiento. Si el movimiento va dirigido en sentido positivo, la velocidad es positiva , y si va en sentido negativo . la velocidad es negativa.
Observación --Lo que llamamos velocidad en la acepción vulgar de la palabra , es el valor absoluto de la velocidad matemática.
TEOREMA .
Todo movimiento rectilíneo uniforme tiene una ecuación de primer grado con relación al tiempo.
APLICACIÓN A LA CAIDA LIBRE DE LOS CUERPOS.
Se demuestra en física ( tubos de newton , máquina de Morín ) que un punto pesante que cae en el vacío sin velocidad inicial , tiene por trayectoria la vertical. . Si la caída se limita a un espacio reducido ( algunos kilómetros en anchura y algunas decenas de metros en altura ) , la aceleración es constante ; el movimiento es uniformemente acelerado . Esta relación se denomina de la gravedad ; se designa por la letra g . Esta dirigida hacia abajo , en Madrid tiene por valor
g = 979 cm , 984 por segundo
El movimiento es un fenómeno esencialmente relativo , siempre se estudia respecto a un sistema de referencia . Un marinero que anda sobre su barca , tiene , si se toma como sistema de referencia , cierto movimiento con relación a ella : este movimiento lo notará un observador que esté también sobre la barca , pero otro observador situado en la orilla percibirá un movimiento distinto : es el movimiento con relación a la tierra tomada como referencia .
OBSERVACION 1---La mayoría de los movimientos reales se estudian tomando la tierra como sistema de referencia . En astronomía se toma para ciertas cuestiones un sistema de referencia ligado al sistema solar , planteándose así -- éste es uno de los problemas más delicados de la ciencia actual -- la existencia de un sistema de referencia absoluto.
2-----Cuando en estática hemos estudiado el equilibrio , es decir ,la ausencia de movimiento en los cuerpos , se ha hecho implícitamente respecto a un sistema de referencia .
Para tratar mediante el cálculo las cuestiones establecidas por la cinemática , se toman sistemas de referencia ligados a los sistemas de coordenadas . Un punto está en movimiento cuando sus coordenadas son funciones variables del tiempo . Se llama trayectoria el lugar geométrico de los puntos que , ligados al sistema de referencia , indican las posiciones sucesivas que ocupa el punto en movimiento.
MEDIDA ALGEBRAICA DEL TIEMPO.
Se elige un instante por origen y una unidad ( por ejemplo , es segundo ) .Cada instante queda determinado por un número algebraico . Si un hecho tiene lugar después del instante tomado como origen , se determina por un número positivo que tiene como valor absoluto el intervalo de tiempo que separa el instante origen de aquel en que sucede el hecho . Si tiene lugar antes del instante origen , queda determinado por un número negativo . Los números algebraicos determinan de esta forma las fechas de los sucesos.
La duración de un fenómeno es la diferencia entre la fecha de su terminación y la de su comienzo.
MOVIMIENTO RECTILÍNEO.
Definición ---Los movimientos rectilíneos son aquellos que tienen por trayectoria una recta . Si se orienta esta recta , y se elige otra sobre la misma , un punto de referencia como origen , un móvil sobre dicha recta tendrá una abscisa que será función del tiempo..
MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME .
Es el movimiento rectilíneo en el que los espacios recorridos por el móvil , que va siempre en el mismo sentido . son proporcionales a los tiempos empleados en recorrerlos . La relación constante entre el espacio y el tiempo , es la velocidad del movimiento. Si el movimiento va dirigido en sentido positivo, la velocidad es positiva , y si va en sentido negativo . la velocidad es negativa.
Observación --Lo que llamamos velocidad en la acepción vulgar de la palabra , es el valor absoluto de la velocidad matemática.
TEOREMA .
Todo movimiento rectilíneo uniforme tiene una ecuación de primer grado con relación al tiempo.
APLICACIÓN A LA CAIDA LIBRE DE LOS CUERPOS.
Se demuestra en física ( tubos de newton , máquina de Morín ) que un punto pesante que cae en el vacío sin velocidad inicial , tiene por trayectoria la vertical. . Si la caída se limita a un espacio reducido ( algunos kilómetros en anchura y algunas decenas de metros en altura ) , la aceleración es constante ; el movimiento es uniformemente acelerado . Esta relación se denomina de la gravedad ; se designa por la letra g . Esta dirigida hacia abajo , en Madrid tiene por valor
g = 979 cm , 984 por segundo
viernes, 7 de agosto de 2015
CENTROS DE GRAVEDAD.
PESO Y MASA .
Todo elemento material está sometido a una fuerza , que , en su mayor parte , es debida a la atracción ejercida por la tierra .Esta fuerza se llama peso del punto ; el fenómeno es la gravedad . El peso está dirigido , según la vertical ,hacia el interior de la TIERRA , ( o, más comúnmente , hacia abajo ) . La vertical está muy próxima a la dirección del centro de la tierra . Lo que ordinariamente se llama peso , es la intensidad de esta fuerza.
Numerosas medidas y experiencias han permitido estudiar el peso . Éste disminuye con la altitud . Varia en intensidad y dirección con ella , y es un poco mayor en los polos que en el ecuador .
Es preciso distinguir bien lo que es peso de lo que es masa : la masa de un cuerpo o elemento material es un número constante , y la física demuestra que es consubstancial con él ( una vez fijadas las unidades ) . Su peso , en cualquier lugar , es el producto de su masa por una constante , ( más exactamente , por un vector constante ) que no depende sino del lugar . Esta constante que se estudiará con más detalle en la cinemática , es la aceleración o intensidad de la gravedad, y se designa por la letra g.
CENTRO DE GRAVEDAD DE UN SÓLIDO.
Hemos definido un sólido como un conjunto de puntos . Si el sólido es de dimensiones pequeñas con relación a la TIERRA , el peso de sus diferentes puntos serán fuerzas paralelas y proporcionales a su masa ( puesto que g tiene el mismo valor para todos los puntos del cuerpo ) . La resultante de todas estas fuerzas paralelas , es el peso del cuerpo , y el centro de ellas centro de gravedad del cuerpo.
Si se cambia la orientación del sólido con relación a la TIERRA , para un observador que estuviera unido a él ( o mejor , para un sistema de ejes coordenados ligado al sólido .) sería como si se modificara la dirección común de todas las fuerzas : la posición del centro de gravedad no variará con relación al cuerpo , ya que hemos establecido que es el centro de fuerzas paralelas . Asimismo , cuando se desplaza el sólido , los pesos variarán , pero siempre se mantendrán proporcionales a las masas : la posición del centro de gravedad no varía .
En resumen , el centro de gravedad de un sólido es un punto invariablemente ligado al mismo.
Todo elemento material está sometido a una fuerza , que , en su mayor parte , es debida a la atracción ejercida por la tierra .Esta fuerza se llama peso del punto ; el fenómeno es la gravedad . El peso está dirigido , según la vertical ,hacia el interior de la TIERRA , ( o, más comúnmente , hacia abajo ) . La vertical está muy próxima a la dirección del centro de la tierra . Lo que ordinariamente se llama peso , es la intensidad de esta fuerza.
Numerosas medidas y experiencias han permitido estudiar el peso . Éste disminuye con la altitud . Varia en intensidad y dirección con ella , y es un poco mayor en los polos que en el ecuador .
Es preciso distinguir bien lo que es peso de lo que es masa : la masa de un cuerpo o elemento material es un número constante , y la física demuestra que es consubstancial con él ( una vez fijadas las unidades ) . Su peso , en cualquier lugar , es el producto de su masa por una constante , ( más exactamente , por un vector constante ) que no depende sino del lugar . Esta constante que se estudiará con más detalle en la cinemática , es la aceleración o intensidad de la gravedad, y se designa por la letra g.
CENTRO DE GRAVEDAD DE UN SÓLIDO.
Hemos definido un sólido como un conjunto de puntos . Si el sólido es de dimensiones pequeñas con relación a la TIERRA , el peso de sus diferentes puntos serán fuerzas paralelas y proporcionales a su masa ( puesto que g tiene el mismo valor para todos los puntos del cuerpo ) . La resultante de todas estas fuerzas paralelas , es el peso del cuerpo , y el centro de ellas centro de gravedad del cuerpo.
Si se cambia la orientación del sólido con relación a la TIERRA , para un observador que estuviera unido a él ( o mejor , para un sistema de ejes coordenados ligado al sólido .) sería como si se modificara la dirección común de todas las fuerzas : la posición del centro de gravedad no variará con relación al cuerpo , ya que hemos establecido que es el centro de fuerzas paralelas . Asimismo , cuando se desplaza el sólido , los pesos variarán , pero siempre se mantendrán proporcionales a las masas : la posición del centro de gravedad no varía .
En resumen , el centro de gravedad de un sólido es un punto invariablemente ligado al mismo.
ESTÁTICA DEL SÓLIDO.
Definición --Cuerpo sólido es un conjunto de puntos materiales cuyas distancias entre si permanecen invariables .El cuerpo sólido así definido es indeformable : nos encontramos , pues , con una nueva abstracción , ya que los cuerpos reales son todos más o menos deformables .
Se dice que un sólido está en equilibrio bajo la acción de un sistema de fuerzas , cuando hallándose en reposo , permanece en dicho estado al aplicarle ese sistema de fuerzas . Si , estando el sólido en reposo, no se le aplica ninguna fuerza , el sólido permanecerá en dicho estado.
FUERZAS INTERIORES , FUERZAS EXTERIORES
Si un sólido se encuentra en equilibrio . todos sus puntos están igualmente en equilibrio .Ahora bien , las fuerzas que actúan sobre los distintos puntos son , por una parte , las fuerzas exteriores que actúan sobre sus puntos de aplicación , y por otra parte , las acciones mutuas entre los puntos ; estas fuerzas , dependientes de las exteriores , son las interiores . Por el principio de la acción y de la reacción , la acción del punto A sobre el B es directamente opuesta a la acción del punto B sobre el A . Las fuerzas interiores , oponiéndose dos a dos , se encuentran en equilibrio . El estado del sólido no depende más que de las fuerzas exteriores .
Entre las fuerzas exteriores se pueden distinguir las fuerzas directamente aplicadas y si el sólido está ligado , las fuerzas debidas a los enlaces o ligaduras .
OPERACIONES ELEMENTALES .
Se llaman operaciones elementales , las que pueden ser efectuadas sobre un sistema de fuerzas aplicadas a un sólido en equilibrio sin que se altere dicho equilibrio .
PRIMERA OPERACION ELEMENTAL .
En un sólido en reposo el equilibrio no se alterará si se añaden o suprimen dos fuerzas directamente opuestas , es decir , dos fuerzas que tengan la misma dirección , igual intensidad y sentidos contrarios .
En virtud de este principio , se ha podido prescindir de las fuerzas interiores , que son opuestas dos a dos . Las restantes operaciones elementales son consecuencia de la primera .
SEGUNDA OPERACION ELEMENTAL .
Cuando está un sólido en reposo se puede transportar el punto de aplicación de una fuerza a cualquier punto de su línea de acción o soporte , teniendo en cuenta que el nuevo punto de aplicación debe pertenecer al sólido o estar invariablemente ligado a él.
( se dice más brevemente que se puede hacer deslizar la fuerza sobre su línea de acción o soporte ).
TERCERA OPERACION ELEMENTAL.
Si un sólido está en equilibrio éste no se romperá si se sustituyen varias fuerzas concurrentes aplicadas al sólido por su resultante . Recíprocamente , se puede substituir una fuerza aplicada a un sólido por varias fuerzas concurrentes cuya resultante sea la fuerza dada.
.
Se dice que un sólido está en equilibrio bajo la acción de un sistema de fuerzas , cuando hallándose en reposo , permanece en dicho estado al aplicarle ese sistema de fuerzas . Si , estando el sólido en reposo, no se le aplica ninguna fuerza , el sólido permanecerá en dicho estado.
FUERZAS INTERIORES , FUERZAS EXTERIORES
Si un sólido se encuentra en equilibrio . todos sus puntos están igualmente en equilibrio .Ahora bien , las fuerzas que actúan sobre los distintos puntos son , por una parte , las fuerzas exteriores que actúan sobre sus puntos de aplicación , y por otra parte , las acciones mutuas entre los puntos ; estas fuerzas , dependientes de las exteriores , son las interiores . Por el principio de la acción y de la reacción , la acción del punto A sobre el B es directamente opuesta a la acción del punto B sobre el A . Las fuerzas interiores , oponiéndose dos a dos , se encuentran en equilibrio . El estado del sólido no depende más que de las fuerzas exteriores .
Entre las fuerzas exteriores se pueden distinguir las fuerzas directamente aplicadas y si el sólido está ligado , las fuerzas debidas a los enlaces o ligaduras .
OPERACIONES ELEMENTALES .
Se llaman operaciones elementales , las que pueden ser efectuadas sobre un sistema de fuerzas aplicadas a un sólido en equilibrio sin que se altere dicho equilibrio .
PRIMERA OPERACION ELEMENTAL .
En un sólido en reposo el equilibrio no se alterará si se añaden o suprimen dos fuerzas directamente opuestas , es decir , dos fuerzas que tengan la misma dirección , igual intensidad y sentidos contrarios .
En virtud de este principio , se ha podido prescindir de las fuerzas interiores , que son opuestas dos a dos . Las restantes operaciones elementales son consecuencia de la primera .
SEGUNDA OPERACION ELEMENTAL .
Cuando está un sólido en reposo se puede transportar el punto de aplicación de una fuerza a cualquier punto de su línea de acción o soporte , teniendo en cuenta que el nuevo punto de aplicación debe pertenecer al sólido o estar invariablemente ligado a él.
( se dice más brevemente que se puede hacer deslizar la fuerza sobre su línea de acción o soporte ).
TERCERA OPERACION ELEMENTAL.
Si un sólido está en equilibrio éste no se romperá si se sustituyen varias fuerzas concurrentes aplicadas al sólido por su resultante . Recíprocamente , se puede substituir una fuerza aplicada a un sólido por varias fuerzas concurrentes cuya resultante sea la fuerza dada.
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martes, 4 de agosto de 2015
ESTÁTICA DEL PUNTO
Fuerzas -- se llama fuerza toda causa capaz de modificar el estado de reposo o de movimiento de un cuerpo .
El caballo que arrastra un carro ejerce una fuerza . Cuando se tira de un clavo fijado en una pared , se ejerce una fuerza .
En varias partes de la física se estudian sistemas de fuerzas : así por ejemplo , la ley de Coulomb establece las fuerzas que intervienen en los fenómenos eléctricos y magnéticos . La ley de Newton establece las fuerzas que rigen la atracción universal de los cuerpos dos a dos .
PESO.
El peso de un cuerpo es la fuerza debida a la atracción que la tierra ejerce sobre ese punto . El punto sometido a dicha atracción se llama PUNTO PESANTE.
Elementos de las fuerzas .
Una fuerza se caracteriza : 1--por su punto de aplicación . 2-- por su dirección y su sentido -3--por su intensidad.
El punto de aplicación de una fuerza es el punto material sobre el que actúa , es decir , en el que modifica o tiende a modificar el estado de reposo o de movimiento de un cuerpo.
La dirección de una fuerza es la recta según la cual dicha fuerza tiende a desplazar el punto material sobre el que actúa . El concepto de dirección debe ser complementado por el sentido de la fuerza .
La intensidad de una fuerza es la medida de esa fuerza respecto a otra que se toma por unidad.
INSTRUMENTOS de medida de las intensidades de las fuerzas.
A los instrumentos de medida de las intensidades de las fuerzas se les llama Dinamómetros ,los dinamómetros más sencillos están constituidos por resortes .
Dos fuerzas son iguales cuando causan el mismo efecto . Una fuerza A es doble que otra fuerza B cuando realiza el mismo efecto que otras dos fuerzas iguales a B actuando simultáneamente en la misma dirección
VECTORES : INTRODUCCIÓN
Las características comunes a todas las fuerzas permiten representar toda fuerza por un vector .Gracias a esta correspondencia entre vectores y fuerzas , se han podido substituir los problemas de equilibrio y movimiento por problemas de geometría y de algebra sobre vectores .
Se dice que los vectores son equipolentes cuando tienen la misma dirección ,la misma longitud y el mismo sentido , si además tienen el mismo soporte directamente equipolentes .
Se dice que los vectores son opuestos cuando tienen la misma dirección , la misma longitud y sentidos opuestos , si además tienen el mismo soporte , son directamente opuestos.
PROYECCIONES .
La proyección de un vector sobre un eje es el vector que tiene por origen la proyección del origen y por extremo la proyección del extremo.
Dos vectores equipolentes tienen sobre el mismo eje dos proyecciones equipolentes .
Cuando se conocen las coordenadas del origen y del extremo de un vector , se pueden calcular sus proyecciones aplicando la relación de Chasles .
SUMA GEOMÉTRICA O RESULTANTE DE VARIOS VECTORES CONSECUTIVOS .
Vectores consecutivos son aquellos en los que el extremo de cada uno es el origen del siguiente .
La suma geométrica ( o resultante ) de varios vectores consecutivos es el vector que tiene por origen el origen del primero , y por extremo , el extremo del último
Cuando los vectores tienen por soporte un misma línea recta , se puede orientar dicha recta . En este caso solamente se puede aplicar el ya citado teorema de CHASLES : el valor algebraico de la suma geométrica de varios vectores es precisamente igual a la suma algebraica de los valores algebraicos de los vectores componentes de la suma .
( sólo en el caso de que los vectores estén sobre un mismo eje se pueden , en la formula precedente , subsistir los vectores por sus valores algebraicos y hacer los cálculos ).
PUNTO MATERIAL.
Se llama punto material todo cuerpo de dimensiones lo bastante pequeñas que pueden considerarse despreciables .
PRINCIPIOS DE LA ESTÁTICA .
La estática del punto material se basa en los siguientes principios de origen experimental.
1 ) PRINCIPIO DE LA INERCIA ( KEPLER ) . -- un punto material que se encuentra en estado de reposo , permanecerá en dicho estado si no existe ninguna acción exterior que actúe sobre el.
2 ) PRINCIPIO DE LA IGUALDAD DE LA ACCIÓN Y DE LA REACCIÓN ( NEWTON )
Si un punto material A actúa sobre punto material B , y si el efecto de esta acción constituye una fuerza aplicada en B cuya línea soporte es A B , la acción de B sobre A , que se llama reacción , es una fuerza igual y opuesta directamente a la acción de A sobre B .
Esta fuerzas pueden ser de atracción o repulsión . El principio de la igualdad de la acción y de la reacción , enunciado para las acciones reciprocas de dos puntos distantes , tiene también aplicación a las acciones de dos punto en contacto.
SI un punto material está en reposo sobre un apoyo , ejerce una fuerza sobré él ; recíprocamente opuesta a la anterior A--------- .............. B .
3 ) PRINCIPIO DE LA COMPOSICION DE FUERZAS ( GALILEO )
Si varias fuerzas actúan simultáneamente sobre un punto material , su efecto sobre dicho punto es el mismo que el de una fuerza única llamada resultante : el vector que la representa es la suma geométrica de los vectores representativos de las fuerzas primitivas .
Recíprocamente , se puede reemplazar una fuerza por varias aplicadas al mismo punto y que tengan por resultante la fuerza dada.
EQUILIBRIO DE UN PUNTO MATERIAL.
Para que un punto sometido a varias fuerzas esté en equilibrio, es preciso y suficiente que la resultante de las fuerzas a él aplicadas sea nula.
.
El caballo que arrastra un carro ejerce una fuerza . Cuando se tira de un clavo fijado en una pared , se ejerce una fuerza .
En varias partes de la física se estudian sistemas de fuerzas : así por ejemplo , la ley de Coulomb establece las fuerzas que intervienen en los fenómenos eléctricos y magnéticos . La ley de Newton establece las fuerzas que rigen la atracción universal de los cuerpos dos a dos .
PESO.
El peso de un cuerpo es la fuerza debida a la atracción que la tierra ejerce sobre ese punto . El punto sometido a dicha atracción se llama PUNTO PESANTE.
Elementos de las fuerzas .
Una fuerza se caracteriza : 1--por su punto de aplicación . 2-- por su dirección y su sentido -3--por su intensidad.
El punto de aplicación de una fuerza es el punto material sobre el que actúa , es decir , en el que modifica o tiende a modificar el estado de reposo o de movimiento de un cuerpo.
La dirección de una fuerza es la recta según la cual dicha fuerza tiende a desplazar el punto material sobre el que actúa . El concepto de dirección debe ser complementado por el sentido de la fuerza .
La intensidad de una fuerza es la medida de esa fuerza respecto a otra que se toma por unidad.
INSTRUMENTOS de medida de las intensidades de las fuerzas.
A los instrumentos de medida de las intensidades de las fuerzas se les llama Dinamómetros ,los dinamómetros más sencillos están constituidos por resortes .
Dos fuerzas son iguales cuando causan el mismo efecto . Una fuerza A es doble que otra fuerza B cuando realiza el mismo efecto que otras dos fuerzas iguales a B actuando simultáneamente en la misma dirección
VECTORES : INTRODUCCIÓN
Las características comunes a todas las fuerzas permiten representar toda fuerza por un vector .Gracias a esta correspondencia entre vectores y fuerzas , se han podido substituir los problemas de equilibrio y movimiento por problemas de geometría y de algebra sobre vectores .
Se dice que los vectores son equipolentes cuando tienen la misma dirección ,la misma longitud y el mismo sentido , si además tienen el mismo soporte directamente equipolentes .
Se dice que los vectores son opuestos cuando tienen la misma dirección , la misma longitud y sentidos opuestos , si además tienen el mismo soporte , son directamente opuestos.
PROYECCIONES .
La proyección de un vector sobre un eje es el vector que tiene por origen la proyección del origen y por extremo la proyección del extremo.
Dos vectores equipolentes tienen sobre el mismo eje dos proyecciones equipolentes .
Cuando se conocen las coordenadas del origen y del extremo de un vector , se pueden calcular sus proyecciones aplicando la relación de Chasles .
SUMA GEOMÉTRICA O RESULTANTE DE VARIOS VECTORES CONSECUTIVOS .
Vectores consecutivos son aquellos en los que el extremo de cada uno es el origen del siguiente .
La suma geométrica ( o resultante ) de varios vectores consecutivos es el vector que tiene por origen el origen del primero , y por extremo , el extremo del último
Cuando los vectores tienen por soporte un misma línea recta , se puede orientar dicha recta . En este caso solamente se puede aplicar el ya citado teorema de CHASLES : el valor algebraico de la suma geométrica de varios vectores es precisamente igual a la suma algebraica de los valores algebraicos de los vectores componentes de la suma .
( sólo en el caso de que los vectores estén sobre un mismo eje se pueden , en la formula precedente , subsistir los vectores por sus valores algebraicos y hacer los cálculos ).
PUNTO MATERIAL.
Se llama punto material todo cuerpo de dimensiones lo bastante pequeñas que pueden considerarse despreciables .
PRINCIPIOS DE LA ESTÁTICA .
La estática del punto material se basa en los siguientes principios de origen experimental.
1 ) PRINCIPIO DE LA INERCIA ( KEPLER ) . -- un punto material que se encuentra en estado de reposo , permanecerá en dicho estado si no existe ninguna acción exterior que actúe sobre el.
2 ) PRINCIPIO DE LA IGUALDAD DE LA ACCIÓN Y DE LA REACCIÓN ( NEWTON )
Si un punto material A actúa sobre punto material B , y si el efecto de esta acción constituye una fuerza aplicada en B cuya línea soporte es A B , la acción de B sobre A , que se llama reacción , es una fuerza igual y opuesta directamente a la acción de A sobre B .
Esta fuerzas pueden ser de atracción o repulsión . El principio de la igualdad de la acción y de la reacción , enunciado para las acciones reciprocas de dos puntos distantes , tiene también aplicación a las acciones de dos punto en contacto.
SI un punto material está en reposo sobre un apoyo , ejerce una fuerza sobré él ; recíprocamente opuesta a la anterior A--------- .............. B .
3 ) PRINCIPIO DE LA COMPOSICION DE FUERZAS ( GALILEO )
Si varias fuerzas actúan simultáneamente sobre un punto material , su efecto sobre dicho punto es el mismo que el de una fuerza única llamada resultante : el vector que la representa es la suma geométrica de los vectores representativos de las fuerzas primitivas .
Recíprocamente , se puede reemplazar una fuerza por varias aplicadas al mismo punto y que tengan por resultante la fuerza dada.
EQUILIBRIO DE UN PUNTO MATERIAL.
Para que un punto sometido a varias fuerzas esté en equilibrio, es preciso y suficiente que la resultante de las fuerzas a él aplicadas sea nula.
.
lunes, 3 de agosto de 2015
MECÁNICA RACIONAL.
ARQUIMEDES demostró la eficacia de la palanca y formuló las leyes de la mecánica racional, limitándose únicamente a las leyes del equilibrio . Definió el centro de gravedad , determino la parábola , estableció los fundamentos de la hidrostática ( principio de Arquímedes ) e inventó , además del tornillo que lleva su nombre ( tornillo de Arquímedes ) , el tornillo sin fin y los polipastos. ARQUIMEDES ( 287 --212 a. de J C. )
GALILEO GALILEI ( 1564 - 1642 ).
Verdadero iniciador de la mecánica moderna y a quien se debe el concepto de fuerza -- que sirve de base a la misma.--, descubrió la ley de la caída de los cuerpos y aclaró el concepto de inercia.
NEWTON ( 1642 --1727 ) generalizó los descubrimientos de GALILEO , estableció el principio de la acción y la reacción y la ley de la gravitación universal.
ALBERT EINSTEIN ( 1879 - 1955 )
Ha hecho investigaciones de la mecánica entre el campo de la física matemática , y ha enunciado los modernos principios de la relatividad y de la equivalencia creando la teoría que lleva su nombre .
GENERALIDADES .
OBJETO DE LA MECÁNICA.
La mecánica racional es la rama de las matemáticas que trata de la acción de las fuerzas .
Corrientemente se divide en tres partes : la ESTÁTICA, que se ocupa de las condiciones de equilibrio .
La DINÁMICA ---que estudia las relaciones entre los movimientos y las fuerzas o causas que lo producen.
La CINEMÁTICA que para poder realizar este estudio, trata también de los movimientos independientemente de las fuerzas , pero teniendo en cuenta el tiempo.
Es interesante precisar las relaciones de la mecánica con los problemas reales . Las condiciones de equilibrio y los movimientos de los cuerpos dependen , en realidad , de gran número de factores , entre ellos las deformaciones de estos cuerpos , la resistencia del medio y los efectos de otros cuerpos .
La mecánica racional proporciona en cierto modo una primera aproximación de los resultados . No obstante , el desarrollo puramente lógico de los principios de la mecánica racional ha encontrado en astronomía y en física matemática brillantes confirmaciones de la legitimidad de estos principios .
Una trayectoria que atraviese las capas elevadas de la atmósfera donde la resistencia del aire es menor , se aproxima considerablemente a la calculada en el problema teórico.
GALILEO GALILEI ( 1564 - 1642 ).
Verdadero iniciador de la mecánica moderna y a quien se debe el concepto de fuerza -- que sirve de base a la misma.--, descubrió la ley de la caída de los cuerpos y aclaró el concepto de inercia.
NEWTON ( 1642 --1727 ) generalizó los descubrimientos de GALILEO , estableció el principio de la acción y la reacción y la ley de la gravitación universal.
ALBERT EINSTEIN ( 1879 - 1955 )
Ha hecho investigaciones de la mecánica entre el campo de la física matemática , y ha enunciado los modernos principios de la relatividad y de la equivalencia creando la teoría que lleva su nombre .
GENERALIDADES .
OBJETO DE LA MECÁNICA.
La mecánica racional es la rama de las matemáticas que trata de la acción de las fuerzas .
Corrientemente se divide en tres partes : la ESTÁTICA, que se ocupa de las condiciones de equilibrio .
La DINÁMICA ---que estudia las relaciones entre los movimientos y las fuerzas o causas que lo producen.
La CINEMÁTICA que para poder realizar este estudio, trata también de los movimientos independientemente de las fuerzas , pero teniendo en cuenta el tiempo.
Es interesante precisar las relaciones de la mecánica con los problemas reales . Las condiciones de equilibrio y los movimientos de los cuerpos dependen , en realidad , de gran número de factores , entre ellos las deformaciones de estos cuerpos , la resistencia del medio y los efectos de otros cuerpos .
La mecánica racional proporciona en cierto modo una primera aproximación de los resultados . No obstante , el desarrollo puramente lógico de los principios de la mecánica racional ha encontrado en astronomía y en física matemática brillantes confirmaciones de la legitimidad de estos principios .
Una trayectoria que atraviese las capas elevadas de la atmósfera donde la resistencia del aire es menor , se aproxima considerablemente a la calculada en el problema teórico.
CIRCUNFERENCIA
Definición : se llama circunferencia el lugar geométrico de los puntos M del plano que están a una distancia dada. R , llamada Radio , de un plano fijo O llamado Centro de la circunferencia.
OM = R .
Con la palabra radio se designa tanto el segmento O M como su medida R.
Se denomina Circulo la porción de plano limitada por la circunferencia y que contiene el centro 0 , aunque a veces se utiliza para mayor comodidad la palabra círculo en vez de circunferencia cuando la sustitución no se presta a una interpretación dudosa .
Se llama Diámetro toda recta que pasa por el centro O del círculo , todo diámetro corta la circunferencia en dos puntos Ay B definidas por OA = OB= R. que se llama extremos del diámetro , se dice que dos puntos de una circunferencia son diametralmente opuestos , cuando son los extremos de un mismo diámetro .
Interior y Exterior de una circunferencia , una circunferencia divide el plano en dos regiones : la que contiene el centro, que se llama interior , y la que no lo contiene que se llama exterior .
TEOREMA .
La condición necesaria y suficiente para que un punto P sea interior a una circunferencia ( O ), de centro O y radio R es que O P < R
OM = R .
Con la palabra radio se designa tanto el segmento O M como su medida R.
Se denomina Circulo la porción de plano limitada por la circunferencia y que contiene el centro 0 , aunque a veces se utiliza para mayor comodidad la palabra círculo en vez de circunferencia cuando la sustitución no se presta a una interpretación dudosa .
Se llama Diámetro toda recta que pasa por el centro O del círculo , todo diámetro corta la circunferencia en dos puntos Ay B definidas por OA = OB= R. que se llama extremos del diámetro , se dice que dos puntos de una circunferencia son diametralmente opuestos , cuando son los extremos de un mismo diámetro .
Interior y Exterior de una circunferencia , una circunferencia divide el plano en dos regiones : la que contiene el centro, que se llama interior , y la que no lo contiene que se llama exterior .
TEOREMA .
La condición necesaria y suficiente para que un punto P sea interior a una circunferencia ( O ), de centro O y radio R es que O P < R
POSTULADO DE EUCLIDES
Por un punto A fuera de una recta no se puede trazar a ésta más que una sola paralela .
Esta proposición es conocida con el nombre de POSTULADO DE EUCLIDES : constituye una hipótesis y no es susceptible de demostración . La geometría que se ha formado admitiendo el postulado de EUCLIDES se llama geometría euclidiano .
Consecuencia del postulado de Euclides si dos rectas ( A B ) y ( C D ) son paralelas toda recta ( E´ F´ ) que corte una de ellas corta también la otra.
TEOREMA .
Si dos rectas paralelas son cortadas por una secante :
1 ) Los ángulos Alternos , Internos son iguales .
2) Los ángulos Alternos Externos son iguales .
3) Los ángulos Correspondientes son iguales.
Esta proposición es conocida con el nombre de POSTULADO DE EUCLIDES : constituye una hipótesis y no es susceptible de demostración . La geometría que se ha formado admitiendo el postulado de EUCLIDES se llama geometría euclidiano .
Consecuencia del postulado de Euclides si dos rectas ( A B ) y ( C D ) son paralelas toda recta ( E´ F´ ) que corte una de ellas corta también la otra.
TEOREMA .
Si dos rectas paralelas son cortadas por una secante :
1 ) Los ángulos Alternos , Internos son iguales .
2) Los ángulos Alternos Externos son iguales .
3) Los ángulos Correspondientes son iguales.
viernes, 31 de julio de 2015
DESCUENTO.
DESCUENTO COMERCIAL.
En las operaciones comerciales , las mercancías no se pagan generalmente al contado , sino que suele concederse al comprador un plazo de dos o tres meses . El deudor reconoce su deuda firmando un documento ( pagaré , letra de cambio etc .) en el que figura la cantidad de que se reconoce deudor y la fecha en que se compromete a efectuar el pago.
La suma que figura en el documento se llama VALOR NOMINAL , una letra de cambio o un pagaré representa para su poseedor un valor que puede ser efectivo de dos maneras : en primer lugar , puede endosarlo a otra persona firmando al dorso del documento ; páguese a la orden del SR........... y a continuación el nombre del beneficiario ; por otra parte , si el poseedor del documento necesita , dinero antes de su vencimiento , puede dirigirse a su banco , que puede comprárserlo mediante ciertas garantías .
Se llama descuento a la cantidad que se deduce del valor de una letra de cambio o pagaré cuando se percibe su importe antes del día de su vencimiento , que es el día estipulado para el pago .
CÁLCULO DEL DESCUENTO.
problema ----El 19 de marzo , un banco descuenta , al 6 % una letra de 240 000 ptas. que vencía el 31 de mayo . Calcular el descuento y el valor efectivo del documento.
Del 19 de marzo al 31 de mayo han transcurrido 73 días .
descuento = 240 000 x 6 x 73
------------------- = 29220 ptas.
36 000
valor efectivo del documento = 240 000-290 = 237 080 ptas .
CALCULO DEL TANTO POR CIENTO DEL DESCUENTO.
Una letra de 37 000 ptas , a 24 días vista , se ha presentado al descuento , habiendo recibido el comerciante 36 864 ptas ¿ cuál es el tanto por ciento del descuento ?
importe del descuento: 37 000 - 36864 = 136 ptas .
Tanto por ciento = 36 000 x 136
-----------------= 5,5
37 000 x 24
CÁLCULO DEL VENCIMIENTO.
Por un pagaré de 48 000 ptas de valor nominal , descontando al 5 % , se han percibido 47 860 ptas . ¿ Al cabo de cuántos días vencía el pagaré ?
Número de días = 36 000 x 140
------------------= 21 d.
48 000 x 5
En las operaciones comerciales , las mercancías no se pagan generalmente al contado , sino que suele concederse al comprador un plazo de dos o tres meses . El deudor reconoce su deuda firmando un documento ( pagaré , letra de cambio etc .) en el que figura la cantidad de que se reconoce deudor y la fecha en que se compromete a efectuar el pago.
La suma que figura en el documento se llama VALOR NOMINAL , una letra de cambio o un pagaré representa para su poseedor un valor que puede ser efectivo de dos maneras : en primer lugar , puede endosarlo a otra persona firmando al dorso del documento ; páguese a la orden del SR........... y a continuación el nombre del beneficiario ; por otra parte , si el poseedor del documento necesita , dinero antes de su vencimiento , puede dirigirse a su banco , que puede comprárserlo mediante ciertas garantías .
Se llama descuento a la cantidad que se deduce del valor de una letra de cambio o pagaré cuando se percibe su importe antes del día de su vencimiento , que es el día estipulado para el pago .
CÁLCULO DEL DESCUENTO.
problema ----El 19 de marzo , un banco descuenta , al 6 % una letra de 240 000 ptas. que vencía el 31 de mayo . Calcular el descuento y el valor efectivo del documento.
Del 19 de marzo al 31 de mayo han transcurrido 73 días .
descuento = 240 000 x 6 x 73
------------------- = 29220 ptas.
36 000
valor efectivo del documento = 240 000-290 = 237 080 ptas .
CALCULO DEL TANTO POR CIENTO DEL DESCUENTO.
Una letra de 37 000 ptas , a 24 días vista , se ha presentado al descuento , habiendo recibido el comerciante 36 864 ptas ¿ cuál es el tanto por ciento del descuento ?
importe del descuento: 37 000 - 36864 = 136 ptas .
Tanto por ciento = 36 000 x 136
-----------------= 5,5
37 000 x 24
CÁLCULO DEL VENCIMIENTO.
Por un pagaré de 48 000 ptas de valor nominal , descontando al 5 % , se han percibido 47 860 ptas . ¿ Al cabo de cuántos días vencía el pagaré ?
Número de días = 36 000 x 140
------------------= 21 d.
48 000 x 5
miércoles, 29 de julio de 2015
REGLAS DE INTERÉS
Definiciones : Se da el nombre de interés o rédito de una cantidad de dinero o capital al beneficio que produce al que lo presta o impone durante cierto tiempo , y se llama regla de interés al procedimiento aritmético que se sigue para resolver los problemas con él relacionados .
Se llama TANTO POR CIENTO al interés que produce 100 unidades monetarias en la unidad de tiempo , que es generalmente un año . El interés que corresponde a un capital cualquiera en ese mismo tiempo , se llama renta .
Resolveremos primeramente algunos problemas relativos al tanto por ciento.
1-- Hallar el tanto por ciento de un número determinado.
Problema . En una venta se ha obtenido un beneficio del 20 % sobre el precio de compra . Calcular el beneficio total.
Beneficio = precio de compra x 20
--------
100
2-- Calcular la cantidad conociendo el tanto por ciento.
Problema . ¿ Qué cantidad de trigo será necesaria para obtener 600 kg de harina , sabiendo que el trigo produce el 80 % aproximadamente de su masa en harina ?
la masa de trigo es el 100
------de la masa de harina , o sea ;600x 100
80 -----------= 750 kg.
80
Se llama TANTO POR CIENTO al interés que produce 100 unidades monetarias en la unidad de tiempo , que es generalmente un año . El interés que corresponde a un capital cualquiera en ese mismo tiempo , se llama renta .
Resolveremos primeramente algunos problemas relativos al tanto por ciento.
1-- Hallar el tanto por ciento de un número determinado.
Problema . En una venta se ha obtenido un beneficio del 20 % sobre el precio de compra . Calcular el beneficio total.
Beneficio = precio de compra x 20
--------
100
2-- Calcular la cantidad conociendo el tanto por ciento.
Problema . ¿ Qué cantidad de trigo será necesaria para obtener 600 kg de harina , sabiendo que el trigo produce el 80 % aproximadamente de su masa en harina ?
la masa de trigo es el 100
------de la masa de harina , o sea ;600x 100
80 -----------= 750 kg.
80
REGLA DE COMPAÑIA
La regla de compañía indica la forma como hay que repartir la ganancia o pérdida de un capital social entre los socios , proporcionalmente a los capitales respectivos y al tiempo que han estado impuestos .
Pueden presentarse varios casos;
1---- Si los capitales de los socios son iguales , pero han estado impuestos diferente tiempo , el reparto se hará proporcionalmente al tiempo;
2----Si los capitales son distintos , pero han estado impuestos el mismo tiempo , el reparto se hará proporcionalmente a los capitales .
3----Si tanto los capitales como los tiempos que han estado impuestos son diferentes para cada socio , es evidente que el reparto deberá hacerse proporcionalmente a los productos de los respectivos capitales por los tiempos correspondientes .
En los dos primeros casos , la regla de compañía se llama simple , y en el tercero , compuesta .
Es evidente que la regla de compañía no es más que una aplicación del problema anterior de repartimientos proporcionales .
PROBLEMA .
Dos socios fundan una empresa comercial , siendo sus aportaciones respectivas 5 600 000 ptas y 7 500 000 ptas ; seis mese después , se adhiere un tercer socio con un capital de 1 250 000 ptas . El beneficio obtenido al cabo de un año es de 1 338 750 ptas , que deben repartirse los tres socios . ¿ Qué cantidad corresponderá a cada socio ?.
La ganancia obtenida deberá repartirse proporcionalmente a los productos de los capitales por los tiempos correspondientes , es decir , a :
5 600 000 x 12, 7 500 000 x 12 , 1 250 000 x 6 ,
o bien a
224,300 y 25 .
parte del primero = 1 338 750 x 224
-------------------- = 546 230 ptas .
549
parte del segundo =1 338 750 x 3000
-------------------- = 731 557 ptas .
549
parte del tercero = 1 338 750 x 25
------------------ =60 963 ptas
549 -------------
Total .................. 1 338 750 ptas .
Pueden presentarse varios casos;
1---- Si los capitales de los socios son iguales , pero han estado impuestos diferente tiempo , el reparto se hará proporcionalmente al tiempo;
2----Si los capitales son distintos , pero han estado impuestos el mismo tiempo , el reparto se hará proporcionalmente a los capitales .
3----Si tanto los capitales como los tiempos que han estado impuestos son diferentes para cada socio , es evidente que el reparto deberá hacerse proporcionalmente a los productos de los respectivos capitales por los tiempos correspondientes .
En los dos primeros casos , la regla de compañía se llama simple , y en el tercero , compuesta .
Es evidente que la regla de compañía no es más que una aplicación del problema anterior de repartimientos proporcionales .
PROBLEMA .
Dos socios fundan una empresa comercial , siendo sus aportaciones respectivas 5 600 000 ptas y 7 500 000 ptas ; seis mese después , se adhiere un tercer socio con un capital de 1 250 000 ptas . El beneficio obtenido al cabo de un año es de 1 338 750 ptas , que deben repartirse los tres socios . ¿ Qué cantidad corresponderá a cada socio ?.
La ganancia obtenida deberá repartirse proporcionalmente a los productos de los capitales por los tiempos correspondientes , es decir , a :
5 600 000 x 12, 7 500 000 x 12 , 1 250 000 x 6 ,
o bien a
224,300 y 25 .
parte del primero = 1 338 750 x 224
-------------------- = 546 230 ptas .
549
parte del segundo =1 338 750 x 3000
-------------------- = 731 557 ptas .
549
parte del tercero = 1 338 750 x 25
------------------ =60 963 ptas
549 -------------
Total .................. 1 338 750 ptas .
martes, 28 de julio de 2015
REGLA DE TRES
La regla de tres es el procedimiento aritmético general que se emplea para resolver problemas del tipo siguiente.
Dado una magnitud A directa o inversamente proporcional a otras varias B,C, D, y conocidos los valores a, b, c, de estas magnitudes en un estado determinado , calcular el valor que corresponde a A cuando las magnitudes B ,C ,D , reciben nuevos valores b´, c´, d´.
Cuando sólo se trata de dos magnitudes , se dice que la regla de tres es simple ; en el caso contrario , se llama regla de tres compuesta.
REGLA DE TRES SIMPLE .
La regla de tres simple puede ser directa o inversa , según que las magnitudes de que se trate sean directas o inversamente proporcionales ..
Sean a y b las medidas de las dos magnitudes A y B en un primer estado ; llamemos x y b´ a los valores de las dos magnitudes A y B en un segundo estado , siendo x el valor desconocido de la magnitud A
Si las magnitudes son directamente proporcionales , tendremos :
x = b´,
-- ---, de donde x = ab´
a b -------
b
si las magnitudes son inversamente proporcionales , tendremos.
x = b
--- ---, de donde x = ab
a b´ -----
b´
REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA.
Problema .
con 38 kg de harina se hacen 57 kg de pan . ¿ Qué cantidad de harina será necesaria para fabricar 42 kg de pan ?
1- solución . Sea el número de kilos de harina necesarios . La masa de harina y la masa de pan correspondiente son dos magnitudes directamente proporcionales ; se tendrá , pues :
a = 38
--- ----
42 57
De donde se deduce :
a = 42 x 38
----------- =28 kg.
57
también puede emplearse el método llamado de reducción a la unidad.
2--- solución
Para hacer 57 kg de pan se necesitan 38 kg de harina .
---- 1 kg ------ 38
----- kg---
57--
--------------42 kg ---- 38 x 42
------- = 28 kg de harina
57
Observación : El primer método es el más sencillo . el segundo método conduce además algunas veces a un razonamiento que conviene evitar .Así por ejemplo resolvamos el problema siguiente : Un sombrerero ha comprado 5 sombreros iguales por 900 ptas . ¿ Cuántos sombreros podrá comprar con 720 ptas. ?
1---- método . sea a el número se sombreros comprados .Este número es directamente proporcional al precio de compra :
a 5 5 x 720
------- = -----, de donde a = -------- = 4 sombreros .
720 900 900
2---- Método de reducción a la unidad.
con 900 ptas , el sombrerero compra 5 sombreros
-------- 1 pta. -- -- 5
----
900
------- 720 pta. --- 5 x 720
--------= 4 sombreros
900
hemos encontrado el resultado exacto , pero el segundo razonamiento conduce a un absurdo : con 1 pta , el sombrerero comprará
5
------ de sombrero
900
REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA .
Problema ... con un barril pueden llenarse 252 botellas de 0.95 litros . ¿ cuántas botellas de 0.70 l podrán llenarse con el mismo barril ?
0.95 l ................. .................................252 botellas
0.70 l ...................................................x ---
1-- método .las magnitudes son inversamente proporcionales :
0,95
------= x
0,70 ----
252 .
de donde .
x =252 x 0,95
------------ = 342 botellas .
0,70
2-- método , se operará en la forma anterior :
si de 0.95 l se llenan 252 botellas
de 1,00 l se llenarían 252 x 0,95 botellas .
de 0,70 l se llenarían 252 x 0,95
-------------= 342 botellas .
0,70
.
Dado una magnitud A directa o inversamente proporcional a otras varias B,C, D, y conocidos los valores a, b, c, de estas magnitudes en un estado determinado , calcular el valor que corresponde a A cuando las magnitudes B ,C ,D , reciben nuevos valores b´, c´, d´.
Cuando sólo se trata de dos magnitudes , se dice que la regla de tres es simple ; en el caso contrario , se llama regla de tres compuesta.
REGLA DE TRES SIMPLE .
La regla de tres simple puede ser directa o inversa , según que las magnitudes de que se trate sean directas o inversamente proporcionales ..
Sean a y b las medidas de las dos magnitudes A y B en un primer estado ; llamemos x y b´ a los valores de las dos magnitudes A y B en un segundo estado , siendo x el valor desconocido de la magnitud A
Si las magnitudes son directamente proporcionales , tendremos :
x = b´,
-- ---, de donde x = ab´
a b -------
b
si las magnitudes son inversamente proporcionales , tendremos.
x = b
--- ---, de donde x = ab
a b´ -----
b´
REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA.
Problema .
con 38 kg de harina se hacen 57 kg de pan . ¿ Qué cantidad de harina será necesaria para fabricar 42 kg de pan ?
1- solución . Sea el número de kilos de harina necesarios . La masa de harina y la masa de pan correspondiente son dos magnitudes directamente proporcionales ; se tendrá , pues :
a = 38
--- ----
42 57
De donde se deduce :
a = 42 x 38
----------- =28 kg.
57
también puede emplearse el método llamado de reducción a la unidad.
2--- solución
Para hacer 57 kg de pan se necesitan 38 kg de harina .
---- 1 kg ------ 38
----- kg---
57--
--------------42 kg ---- 38 x 42
------- = 28 kg de harina
57
Observación : El primer método es el más sencillo . el segundo método conduce además algunas veces a un razonamiento que conviene evitar .Así por ejemplo resolvamos el problema siguiente : Un sombrerero ha comprado 5 sombreros iguales por 900 ptas . ¿ Cuántos sombreros podrá comprar con 720 ptas. ?
1---- método . sea a el número se sombreros comprados .Este número es directamente proporcional al precio de compra :
a 5 5 x 720
------- = -----, de donde a = -------- = 4 sombreros .
720 900 900
2---- Método de reducción a la unidad.
con 900 ptas , el sombrerero compra 5 sombreros
-------- 1 pta. -- -- 5
----
900
------- 720 pta. --- 5 x 720
--------= 4 sombreros
900
hemos encontrado el resultado exacto , pero el segundo razonamiento conduce a un absurdo : con 1 pta , el sombrerero comprará
5
------ de sombrero
900
REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA .
Problema ... con un barril pueden llenarse 252 botellas de 0.95 litros . ¿ cuántas botellas de 0.70 l podrán llenarse con el mismo barril ?
0.95 l ................. .................................252 botellas
0.70 l ...................................................x ---
1-- método .las magnitudes son inversamente proporcionales :
0,95
------= x
0,70 ----
252 .
de donde .
x =252 x 0,95
------------ = 342 botellas .
0,70
2-- método , se operará en la forma anterior :
si de 0.95 l se llenan 252 botellas
de 1,00 l se llenarían 252 x 0,95 botellas .
de 0,70 l se llenarían 252 x 0,95
-------------= 342 botellas .
0,70
.
lunes, 27 de julio de 2015
MATEMÁTICA ESTRUCTURAL Y MATEMÁTICA CLÁSICA
Se llama actualmente estructura a todo sistema de entes abstractos mutuamente relacionados por ciertas proposiciones o axiomas que , como en la definición de espacio , son compatibles e independientes . En primer lugar , existen tres estructuras madres : las algebraicas , definidas solamente mediante adiciones y substracciones o multiplicaciones o divisiones , con las propiedades del cálculo aritmético , salvo la Conmutativa que no siempre se cumple ( su estudio constituye el álgebra actual , que se ha denominado moderna , abstracta , etc. para distinguir del álgebra clásica , que era el estudio de los polinomios con coeficiente numéricos y el cálculo de sus raíces ,.) , las de orden , donde se definen los elementos posteriores a otro elemento de modo que se cumpla la propiedad Transitiva , y que contienen como casos particulares los números ordinales y transfinitos , los filtros , los conjuntos dirigidos etc, y la topológicas en que se definen la vencidad , acumulación o contorno . Estas estructuras se combinan entre si , obteniéndose así una clasificación armónica , que pudiera llamarse estructural , de la matemática actual.
ANALISIS Y GEOMETRIA
La geometría es, en cambio , según F. KLEIN , el estudio de las propiedades de las figuras o conjuntos de puntos de un espacio que permanecen invariantes en las transformaciones de un grupo , es decir , de las propiedades comunes a una figura y a sus transformadas en un conjunto de operaciones que contengan la operación o correspondencias que contenga la operación idéntica que deja invariante a cada figura : la inversa de una operación , es decir, la que hace corresponder a una figura transformada la figura primitiva ,y el producto de dos operaciones , o sea la que resulta de aplicarla sucesivamente . Cada grupo de transformaciones define, pues , una igualdad o equivalencia con los tres caracteres , idéntico, recíproco , y transitivo ,entre cada figura y su transformada ; y recíprocamente , cada igualdad o equivalencia define un grupo de operaciones o transformaciones que se obtienen asignando a cada figura una de sus equivalentes ; Los invariantes en las transformaciones del grupo son los entes abstractos nacidos de la equivalencia correspondiente, cuyo estudio constituye la GEOMETRIA basada en dicho grupo.
sábado, 25 de julio de 2015
LA NOCIÓN DE ESPACIO.
Hay que distinguir el espacio real , que es el que perciben nuestros sentidos ; el espacio intuitivo , representación mental del anterior, y el espacio abstracto , conjunto de entes abstractos cualesquiera , con ciertas relaciones expresadas por axiomas o postulados exentos de contradicciones y mutuamente independientes.
DESCARTES ( 1596--1650 ) , al crear la geometría analítica ,fundió el análisis y la geometría . La aplicación sistemática del cálculo infinitesimal a los problemas geométricos originó la geometría diferencial , que permitió a Minkowski, Lorenz y Einstein la creación del cálculo diferencial absoluto, el cual, a su vez , permitió a este último formular su teoría de la relatividad generalizada, actualmente discutida por Majorana , Milne , Burniston ,Brown ,Rapier, Álvarez López , Dingle , etc.
Fue FRÉCHET quien creó la teoría de espacios abstractos , es decir, formados por entes cualesquiera que verifiquen las relaciones de compatibilidad a que se refiere .La noción de dimensión tenia que ser ampliada a estos espacios ; así lo hizo FRECHET
KEPLER pudo descubrir las órbitas de los planetas y de los cometas porque diecinueve siglos antes , los griegos habían hecho un estudio sistemático , aunque puramente teórico, , de las secciones de un cono por un plano , las denominadas cónicas ,; y la creación del cálculo diferencial absoluto , indispensable , como ya hemos dicho ,para la expresión de las leyes de la relatividad de Einstein ampliamente desarrollada .
La especialización que hoy impone cada rama de la ciencia no permite , normalmente , que surjan figuras como aquellos sabios antiguos que eran a la vez , filósofos , matemáticos y físicos .
DESCARTES ( 1596--1650 ) , al crear la geometría analítica ,fundió el análisis y la geometría . La aplicación sistemática del cálculo infinitesimal a los problemas geométricos originó la geometría diferencial , que permitió a Minkowski, Lorenz y Einstein la creación del cálculo diferencial absoluto, el cual, a su vez , permitió a este último formular su teoría de la relatividad generalizada, actualmente discutida por Majorana , Milne , Burniston ,Brown ,Rapier, Álvarez López , Dingle , etc.
Fue FRÉCHET quien creó la teoría de espacios abstractos , es decir, formados por entes cualesquiera que verifiquen las relaciones de compatibilidad a que se refiere .La noción de dimensión tenia que ser ampliada a estos espacios ; así lo hizo FRECHET
KEPLER pudo descubrir las órbitas de los planetas y de los cometas porque diecinueve siglos antes , los griegos habían hecho un estudio sistemático , aunque puramente teórico, , de las secciones de un cono por un plano , las denominadas cónicas ,; y la creación del cálculo diferencial absoluto , indispensable , como ya hemos dicho ,para la expresión de las leyes de la relatividad de Einstein ampliamente desarrollada .
La especialización que hoy impone cada rama de la ciencia no permite , normalmente , que surjan figuras como aquellos sabios antiguos que eran a la vez , filósofos , matemáticos y físicos .
DEFINICIÓN DE LA MATEMÁTICA
Dice BOREL , en Les Grands Courants de la Pensée matemática puede definirse , cada vez con más razón como la ciencia que estudia las relaciones entre ciertos abstractos, definidos también de manera abstracta, sin otra condición que su compatibilidad, es decir, la no contradicción entre esas definiciones
Pero ,¿ qué son entes abstractos ? Consideremos , los dos procesos intelectuales opuestos de abstracción y discriminación .La abstracción consiste en apreciar analogías prescindiendo de las diferencias ,mientras que la discriminación , al contrario , consiste en apreciar diferencias prescindiendo de las analogías ..
De las relaciones de igualdad o equivalencia , esto es , con los tres caracteres : idéntico --- cada objeto es igual a si mismo ---, recíproco---si un objeto es igual a otro, éste lo es aquél---, y transitivo ------ dos objetos iguales a un tercero son iguales entre si ----, surge , si se prescinde de las diferencias entre objetos iguales , el substratum común a todos ellos , que es un abstracto : el ejemplo más sencillo lo ofrece el número natural o cardinal de una colección finita de objetos , que surge , al prescindir de la naturaleza de dichos objetos , en la coordinación o correspondencia biunívoca de los conjuntos finitos . Este proceso de abstracción es sin duda inconsciente , porque el concepto de número natural es primitivo en el hombre civilizado , y anterior a toda noción matemática .
Del cálculo con números se pasa al cálculo con letras que representen indistintamente cualquier número ; este procedimiento , hoy familiar a los alumnos de la institución elemental , se consideró entonces como abstracción de abstracciones . La carrera de abstracciones así emprendida ha conducido finalmente a la colosal obra de N. BOURBAKI , Eléments des Mathématiques , que recoge , sistematizados , los últimos resultados de la matemática actual. Se ha llegado así a la unidad de la matemática , con independencia de cualquier escuela filosófica .
Pero ,¿ qué son entes abstractos ? Consideremos , los dos procesos intelectuales opuestos de abstracción y discriminación .La abstracción consiste en apreciar analogías prescindiendo de las diferencias ,mientras que la discriminación , al contrario , consiste en apreciar diferencias prescindiendo de las analogías ..
De las relaciones de igualdad o equivalencia , esto es , con los tres caracteres : idéntico --- cada objeto es igual a si mismo ---, recíproco---si un objeto es igual a otro, éste lo es aquél---, y transitivo ------ dos objetos iguales a un tercero son iguales entre si ----, surge , si se prescinde de las diferencias entre objetos iguales , el substratum común a todos ellos , que es un abstracto : el ejemplo más sencillo lo ofrece el número natural o cardinal de una colección finita de objetos , que surge , al prescindir de la naturaleza de dichos objetos , en la coordinación o correspondencia biunívoca de los conjuntos finitos . Este proceso de abstracción es sin duda inconsciente , porque el concepto de número natural es primitivo en el hombre civilizado , y anterior a toda noción matemática .
Del cálculo con números se pasa al cálculo con letras que representen indistintamente cualquier número ; este procedimiento , hoy familiar a los alumnos de la institución elemental , se consideró entonces como abstracción de abstracciones . La carrera de abstracciones así emprendida ha conducido finalmente a la colosal obra de N. BOURBAKI , Eléments des Mathématiques , que recoge , sistematizados , los últimos resultados de la matemática actual. Se ha llegado así a la unidad de la matemática , con independencia de cualquier escuela filosófica .
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