ANALISIS Y GEOMETRIA

La  geometría  es, en cambio , según  F. KLEIN ,  el estudio de las propiedades  de las figuras  o conjuntos de puntos  de un espacio  que permanecen  invariantes  en las transformaciones  de un  grupo , es decir , de las propiedades  comunes  a una figura  y a sus transformadas  en un conjunto  de operaciones  que contengan  la operación   o correspondencias  que contenga la operación  idéntica  que deja invariante  a cada figura : la inversa  de una operación , es decir, la que hace  corresponder  a una figura  transformada  la figura primitiva ,y el producto  de dos operaciones , o sea la que resulta  de aplicarla  sucesivamente . Cada grupo   de transformaciones  define, pues , una igualdad  o equivalencia  con los tres caracteres , idéntico, recíproco , y transitivo ,entre cada figura  y su transformada ;  y recíprocamente , cada igualdad o equivalencia  define un grupo  de operaciones  o transformaciones  que se obtienen  asignando a cada figura  una de sus equivalentes ; Los invariantes  en las transformaciones  del grupo  son los entes  abstractos  nacidos  de la equivalencia  correspondiente, cuyo estudio constituye  la GEOMETRIA  basada en dicho grupo.