ECUACIONES Y FUNCIONES.

ECUACIONES .
En  el conjunto  de las expresiones  algebraicas  una igualdad  entre ellas  es una relación  de equivalencia .
Si dicha  igualdad  se satisface  para cualquier valor  asignado  a sus letras , se llama  identidad  y , solo se satisface  para algún  x { valor asignado  a sus letras } se llama ecuación.
IGUALDAD :
Identidad  { para cualquier  valor que satisface  la igualdad }
ecuaciones { para determinar valores que satisfacen la igualdad }.
Las  ecuaciones  se clasifican  en enteras, fraccionarias e irracionales.
1 } Una ecuación  es entera cuando  las variables  o incógnitas  están sometidas a las operaciones  de suma y producto.
2 } Una ecuación  es fraccionaria  cuando  sus incógnitas  o por lo menos una de ellas, se halla en el denominador.
3 } Una  ecuación  es irracional  cuando una incógnita  figura bajo el signo radical.
Se llama ecuación  de primer grado  con una incógnita  a aquella  en que  la  incógnita  está elevada a la primera potencia.
René Descartes { 1596 - 1650 }, creador de la geométria analítica.  quien fue  las coordenadas ; ortogonales , por ser  los ejes  perpendiculares . La intersección  de los  dos ejes  es el punto  O , llamado  origen . Se  considera  un eje horizontal  { eje x } , llamado  abscisa , y otro eje vertical  { eje y } , llamado  ordenada .
Se utiliza  unidades  de longitud  cuyo cero está en  O , con números  positivos  y negativos .
Dos ecuaciones  de primer grado   con dos incognitas  cada una , que deben  admitir simultáneamente  a las mismas  raices, forman un sistema  de dos ecuaciones  con dos incognitas .
Toda ecuación  que puede  reducirse  a un polinomio  entero  de segundo grado  en dicha  incógnita , igualado  a cero , mediante  operaciones  aritméticas , se llama ecuación  de segundo grado con una incógnita .
CONO .
La superficie  resultante  de un corte  efectuado en cualquier  dirección  en un cono  es una sección  de cono.
Siglos  XVI . y XVII,  KEPLER , GALILEO,  y NEWTON , demostraron  que la fuerza de la gravedad  obliga a los cuerpos  celestes  a evolucionar  describiendo  curvas  de sección  de cono , observación  muy aplicada en óptica, balistica , los viajes espaciales etc.
EL  CÍRCULO .
La rueda  es la aplicación  técnica más antigua .
LA ELIPSE .
Las balletas  de los coches  son a menudo semielipticas.
LA PARÁBOLA .
Los reflectores  de los faros  de los coches  y de los telescopios  eléctricos  son parábolicos .
LA HIPÉRBOLA .
Si el  ángulo del corte  es más agudo , se genera  una superficie  hiperbólica , según  la distancia  la masa  y la velocidad , los vehiculos  espaciales  pueden describir  trayectoria  hiperbólica  al acercarse a los cuerpos celestes.
 EL CÍRCULO.
Un círculo  es la superficie  cerrada limitada  por una circunferencia  { curva cerrada cuyos puntos  equidistan  de otro llamado centro .} , la distancia  entre la circunferencia  y el centro se llama radio.
LA CÍRCUNFERENCIA  DEL CÍRCULO.
Si se  proyecta  sobre un plano  la circunferencia de un círculo  su  longitud es poco mayor  que el triple  de su diámetro .La razón  de  proporcionalidad  entre  la longitud  y el radio se designa  con el simbolo  griego  { pi }. Este  es un  número  irracional  que no puede  expresarse  por completo  con cifras decimales  sin embargo el valor que se emplea  corrientemente  es de  { 3,14 } .
GEOMETRIA DEL CÍRCULO .
La  distancia  de la circunferencia  al centro  se llama radio . Cuerda es la linea  recta  que une  dos puntos  cualesquiera  de la circunferencia : la mayor cuerda  que puede trazarse  se llama  diámetro , un sector  es la superficie  delimitada  por los radios  y un arco, y éste es la  porción  de circunferencia  comprendida  entre dos radios  : una cuerda  y un arco  limitan  un segmento , y una secante es una línea  recta que corta la circunferencia .
GEOMETRÍA ANALITICA.
Sabemos que el plano  es un conjunto  de puntos  que forman  un espacio de dos dimensiones , las dos dimensiones pueden representarse  mediante dos ejes ortogonales cartesianos.
El eje  horizontal   X      recibe  el nombre  de  eje de abscisas. El eje  vertical  Y recibe el nombre de eje de ordenadas . Un  punto en un plano  queda  determinado  mediante  el par ordenado  { x;y } . Las coordenadas  de un punto son los valores  de X ; Y que lo determinan.
La representación  gráfica  debe hacerse  a escala, para lo cual se toma una unidad  de medida . Resulta  conveniente  adoptar un segmento  como medida unitaria.
FUNCIÓN .
Cuando  para cada valor  de la variable  X obtenemos  mas valores  de Y, decimos que  Y es  función de X.
simbólicamente  Y = f { x }  notación de euler.
se lee :       Y es  igual a una función  de X ; dónde  X es igual  a la variable  independiente Y es igual a la variable  dependiente.
CÓNICAS .
Son  líneas  que se determinan  al cortar  un cono con planos  de distinta  inclinación  las cónicas son : circunferencia, elipse, parábola e hipérbola.
Es importante tener en cuenta que son lineas  y no superficies.
CIRCUNFERENCIA.
Es la linea  que se observa al cortar  un  cono  recto con un plano paralelo a la base
ELIPSE
Es  la linea que se observa  al cortar  un cono recto con un plano oblicuo.
PARÁBOLA .
Es la linea  que se observa  al cortar  un cono recto con un plano  paralelo  a la  generatriz .
HIPÉRBOLA .
Es la linea  que se observa  al cortar  un cono  recto con un plano perpendicular  a la base del mismo .
CIRCUNFERENCIA .
Lugar geométrico  de los puntos  del plano  que equidistan  de otro llamado centro.
La distancia  de los puntos  se llama  radio y se designa  por  R, haciendo coincidir  el origen  de coordenadas  con el centro de la circunferencia.
ELIPSE.
Dados en el plano  dos puntos  fijos , llamados  focos,  se llama elipse al lugar  geométrico  de los puntos  del plano  tal que  la suma  de sus distancias  a los focos  es constante.
PARÁBOLA .
Dados  en un plano  una recta  y un punto exterior , se  llama parábola  al lugar geométrico  de los puntos  del plano  que equidistan  de la recta  llamada directriz , y del punto o foco . La  directriz  se designa  con la letra   d ;  el foco de la parábola  se designa  con la letra  f.
EJE. = es la perpendicular  a la  directriz  que pasa  por el foco.
PARÁMETRO =  es la distancia  entre el foco  y la directriz  ; se indica con la letra P.
VÉRTICE  =  es el punto  donde  la curva  corta al eje ; dicho punto  se encuentra  a igual  distancia  de la directriz  y del  foco . se indica con la letra   V.
La distancia  entre el vértice  y la directriz se indica con P /2.
SISTEMA DE MEDICIÓN.
Es  conveniente  recordar  que medir  un ángulo  es compararlo  con otro  ángulo  que se considera unidad  de medida , hallando la razón  del primero al segundo.
De igual forma , podemos  decir  que medir un arco de circunferencia  es compararlo con otro arco que se considera unidad de medida, hallando la razón del primero al segundo.
DEMOCRITO : mantuvo  la teoria  de que  las lineas  están compuestas  por un número  infinito  de puntos , las superficies  por una sucesión  de lineas y los cuerpos  sólidos por infinitas superficies .
1} UNA DIMENSIÓN .
La linea  como una sucesión  de puntos .
2 } DOS DIMENSIONES.
la superficie  como una sucesión  infinita de lineas.
3 } TRES DIMENSIONES .
el cuerpo  formado  por infinitas superficies .
Las tres dimensiones  euclidianas  es muy adecuado para el uso diario. Empleando  los conceptos  de longitud , anchura y altura  se puede llegar  a especificar  la posición  de los cuerpos  tridimensionales  en el espacio  como su caracteristicas.
LA CUARTA DIMENSIÓN .
En la teoría  de la relatividad  EINSTEIN  introdujo  el tiempo como cuarta dimensión , para describir  el movimiento de los cuerpos  en el espacio  es necesario  según Einstein  referirse a la  distancia espacial y temporal.
GEOMETRÍA DEL ESPACIO.
Las  dimensiones  de las pirámides  reflejan  la capacidad  que los antiguos  egipcios  tenían  para resolver complicados problemas  de geometría  tridimensional.
Según la geometría  Euclidiana , sólo  existian  tres dimensiones : longitud , anchura, y altura.
En el siglo  XIX se demostró  la posibilidad  de concebir  cuatro o más dimensiones { espacios de  N dimensiones }, aportación que seria  fundamental  para las modernas concepciones  fisicas del espacio .
LA TRIGONOMETRÍA.
Es  la parte  de la geometría  que estudia  las relaciones  entre los lados de un triángulo  rectángulo  y las razones  goniométricas  correspondientes  a su ángulos . Las razones  goniométricas  conocidas son el  Seno , Coseno, la Tangente , la Cotangente , la Secante  y la Cosecante .
Existen  muchas ciencias que precisan  de la  trigonometría , como la Astronomía , la Topografía , y la Nautica entre otras.
TRIÁNGULOS EQUILATEROS .
En un  triángulo equilatero  todos sus ángulos  miden 6o °  teniendo en cuenta  esto , podemos  ver como  dicho  triángulo se divide en dos triángulos  rectángulos  y sabiendo lo que mide  cada uno de sus lados , podremos cálcular  la altura   a través  del Teorema  Pitagoras .
TEOREMA DE PITAGORAS .
En todo  triángulo  rectángulo , el cuadrado  de la  hipotenusa  es igual a la suma de los cuadrados de los catetos .
Por  el teorema  que dice  cada cateto  es medio  proporcional  entre  la hipotenusa  y su  proyección sobre ella .
CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO.
Se llama asi al círculo  cuyo radio vale la unidad .
Resolución  de triángulos rectángulos  sabemos que todo triángulo  consta  de  6 elementos  que son  : tres lados  { 2 catetos  y la hipotenusa } y tres ángulos .
Con sólo dar como datos  tres  de estos  seis  elementos , queda bien  determinado  el triángulo . En nuestro  caso , como es rectángulo  hay un elemento  que conocemos  de antemano  el ángulo recto.Entonces , sólo es necesario  conocer dos elementos { uno de los cuales  tiene que ser un lado } para determinar las  restantes .
Los casos  que se pueden  presentar   son los que siguen.
----dados  los dos catetos
----dados  un cateto  y la hipotenusa
----dados un cateto  y un ángulo  agudo
----dados la  hipotenusa  y un ángulo agudo
LOGARITMO DE UN NÚMERO.
El  logaritmo de un número  real  y positivo  n , en la  base  b , es el exponente  x de la potencia  a la que hay  que elevar  la  base  para  obtener  el número n .
PROPIEDAD UNIFORME .
Los  logaritmos  de números  iguales  en la misma base son iguales ,, para poder  operar  con logaritmos , éstos deben  tener  igual base .
El  logaritmo  de un producto es igual a la suma de los logaritmos  de los  factores .










 









 

RAZONES Y PROPORCIONES GEOMÉTRICAS .

Para  poder  calcular  superficies y volúmenes  es necesario elevar números a la segunda y tercera potencia.
TALES  DE MILETO  { 639--HASTA 545 A,C .}
" Todo    diámetro   divide al círculo  en dos partes iguales  " " los ángulos  de la base  de un  triángulo  isosceles  son iguales ".
RIEMAN  { 1826 --1866 } , define el  espacio  " como un conjunto  de puntos  dados  por sus coordenadas , con una métrica  que permita medir  la distancia  entre dos de ellos  o la longitud  de una curva."
ARQUIMEDES { 287---212 A.C. }
Razón : dados dos números  en un cierto  orden, distinto  de cero , se llama razón  al cociente entre ellos .
Proporción :  dados cuatro números  distintos  de cero , en un cierto orden , constituyen  una proporción , si la razón  de los dos  primeros  es igual a la razón  de los dos segundos .
" se dice que una proporción  es continua cuando sus medios son iguales.
REGLA DE TRES .
Una  de las más importantes  aplicaciones  de las proporciones  está en la resolución  de los problemas  de regla de tres  simple y compuesta.
Ejemplo.  si  5 libros  de lectura  costaron  210 $  ¿ cuál es el   precio de la docena de libros ?.
5--------------210 $.
12--------------x.
x = 12 x 210  = 504 $.
-------------------
          5
El precio de la docena  de libros es 504 $.
REGLA  DE SOCIEDAD  Y COMPAÑIA .
Cuando  varias  personas  colocan  dinero  en un negocio  en común , lo que  se gana  o se pierde  en el mismo  se debe  repartir  en forma  proporcional  o lo que cada uno  colocó  y al tiempo  que tuvo colocado dicho dinero.
De la  colocación  de dinero  en común  se derivan  problemas  que se conocen  con la denominación  de
" problemas  de sociedad  o compañia  " se pueden presentar distintos casos."
1}  Que  los socios  coloquen  distintos  capitales  durante un mismo tiempo.
2 }  Que los socios  coloquen  iguales  capitales  durante distintos tiempo.
3 } Que  los socios  coloquen  distintos  capitales  durante  distintos tiempos  para mejor analizar  la situación  de cada caso , lo resolveremos  planteando  un problema en cada caso.
1 } En este caso , la ganancia  o pérdida  de cada uno  depende  del capital  colocado ; el problema  se reduce  así , a un simple problema de repartición  directamente  proporcional.
En este caso  la ganancia  o pérdida  de cada socio  depende del mayor  o menor  tiempo  que tenga  colocado  su dinero .
Los problemas  de este tipo  se resuelven  mediante  una regla de tres  directamente  proporcional  a los tiempos que cada capital ha estado colocado.
SEGMENTOS PROPORCIONALES .
Dados cuatro segmentos  en un cierto  orden , si la razón  de los dos primeros  es igual a la razón  de los  dos segundos , dichos segmentos forman una proporción , las proporciones  entre segmentos  gozan de las mismas propiedades que las proporciones  númericas.
PROPIEDADES .
Si  tres o más paralelas  son cortadas  por  2 transversales , o segmentos  iguales  en una de ellas  les corresponden  segmentos  iguales  en la otra .
segmentos iguales  : x //   y  // z // v :
TEOREMA DE TALES .
Si tres  o más paralelos  son cortados  por dos  transversales , a segmentos  proporcionales  en una de ellas  les corresponden  segmentos  proporcionales  en la otra .
" toda paralela  a un lado  de un  triángulo  divide   a la otra  dos segmentos proporcionales ".
De acuerdo con la definición  de proporciones  se deduce  que para que un segmento X  sea cuarto proporcional  a otros segmentos  dados  m, n,p , se debe verificar que :
m = p
--  ---.
n     x .
El hombre  habla del hexágono  regular  como un polígono de seis lados iguales que forman  seis ángulos de 120°  .
EL TRAPECIO.
Los trapecios  son cuadriláteros con dos lados  opuestos  paralelos , cuando los otros dos lados no son paralelos , tendremos el trapecio escaleno , contodos los lados distintos .
El trapecio isósceles  cuando  los lados  opuestos  no paralelos  son iguales  mientras que diremos  que un trapecio es rectángulo  cuando tiene dos ángulos rectos.
Toda bisectriz  de un ángulo  interior  de un triángulo   divide al lado opuesto en segmentos proporcionales a los otros dos lados.
En toda  bisectriz  de un ángulo exterior  de un triángulo  que corta a la prolongación  del lado opuesto,los segmentos determinados por cada uno de los extremos  de ese lado con el punto de intersección son proporcionales a los otros dos lados .
TRIÁNGULOS SEMEJANTES.
Dos  triángulos son semejantes cuando sus ángulos son respectivamente  iguales y sus lados  homólogos proporcionales, dos triángulos equiláteros  cualesquiera son semejantes .
RELACIÓN DE EQUIVALENCIA.
Para que una relación  sea de equivalencia  debe cumplir con las propiedades  reflexiva , simétrica y transitiva.
1}  Reflexiva : todo triángulo es semejante  a si mismo.
2} Simétrica : si un triángulo es semejante  a otro éste es semejante al primero.
3} Transitiva : si un  triángulo  es semjante  a otro y éste semejante   a un  tercero, el primero  es semejante  al tercero.
Para cumplir  estás propiedades , la semejanza  de  triángulos es una relación  de equivalencia.
Teorema  fundamental  de la semejanza  de triángulos.
Toda paralela  a un lado de un triángulo determina , con las rectas  a que pertenecen los otros  dos lados , un triángulo semejante al dado.
Casos de semejanza de triángulo.
Cuatro son los casos  de semejanza  de triángulos  y nos permite  determinar  dos triángulos  semejantes  en problemas  posteriores .
1}  DOS triángulos  que tienen 2 lados respectivamente  proporcionales y el ángulo comprendido igual son semejantes .
2 } DOS  triángulos  que tienen  2  ángulos  respectivamente  iguales son semejentes .
3 } DOS  triángulos  que tienen 3  lados  respectivamente  proporcionales  son semejantes .
4 } DOS  triángulos que tienen  2 lados respectivamente proporcionales  y el ángulo opuesto al mayor de ellos  son  semejantes .
Casos de semejanza de triángulos  rectángulos .
1 } DOS  triángulos  rectángulos  que tienen  sus catetos  proporcionales  son semejantes .
2 } DOS  triángulos  rectángulos  que tienen  un ángulo  agudo igual  son semejantes .
3 } DOS  triángulos rectángulos  que tienen la hipotenusa  y un par de catetos  proporcionales son semejantes.
PROPIEDAD de las alturas de dos triángulos semejantes .
1 } Las alturas  homólogas  de dos triángulos  semejantes  son proporcionales  a los lados correspondientes
2 } Las alturas homólogas  de dos triángulos  semejantes  son proporcionales .
Polígonos  semejantes .
Un   polígono  es semejante  a otro  cuando  sus lados son proporcionales y sus ángulos respectivamente iguales.
Teorema  fundamental  de la semejanza  de polígonos .
Si por  un punto  cualquiera del primer lado de un polígono  se traza una paralela  al segundo lado , hasta cortar la primera   diagonal , y por esta intersección  una paralela  al tercer lado, hasta cortar a la segunda diagonal, y asi sucesivamente hasta cortar  al último lado, el polígono que resulta es semejante al dado.
RAZÓN  de los perimetros de  dos polígonos  semejantes .
La razón de los perimetros  de dos  poligonos  semejantes es igual a la razón  de dos cualesquiera  de sus lados  homólogos .
RAZÓN  de las superficies  de dos triángulos  semejantes.
La razón  de las superficies de dos triángulos  semejantes  es igual al cuadrado  de la razón  de un par  de lado homologos .
RAZÓN  de las superficies  de dos poligonos  semejantes .
La razón  de la  superficie  de dos poligonos  semejantes es igual al cuadrado de la razón de un par  de lados homólogos .
TALES DE MILETO.
Establecio  los principios  de la geometria, razonamiento lógico.
El famoso teorema de tales :  los segmentos  determinados  por una serie  de  paralelas  cortadas por dos transversales  son proporcionales.
EL PLACER SUPREMO ES OBTENER LO QUE SE ANHELA.

















 .

MATEMÁTICAS TEORÍA DE CONJUNTOS

Desde  la más remota antiguedad  el concepto de  Matemáticas  se identificó  con el " ciencia de los números  y de las figuras ".
Conjunto.
Significado  de colección   de varios objetos  = los objetos  que intengran  un conjunto  reciben en matemática, el nombre particular  de elementos del mismo ; se representan  simbolicamente por  medio  de letras minusculas cursivas.
=  igual a .
/   tal que .
U reunión   o unión .
<  menor que .
>  mayor que .
/ / paralela a .
A cada conjunto se lo designa  mediante  una letra  mayuscula  de imprenta : ejemplo , M representa  el conjunto de lo dedos de la mano.
CONJUNTO VACIO.
Se llama conjunto vacio al que  carece de elementos .
CONJUNTO    UNITARIO.
Se llama conjunto unitario  al que tiene un solo elemento.
A = { x / x es satélite de la tierra.}
Suma  =  a + b = c.
suma de  a y b  es el número  natural  c ;  a y b  se llaman  sumados  ; c es la suma .
En el conjunto  de números  naturales  existe  un número  que sumado  con cualquier  otro da siempre  ese otro. A, esté  número  se le llama elemento  neutro de la suma  y es el cero.
m + o = m.
5 + o = 5.
Un conjunto  es la reunión  de una clase de elementos
A médida  que el hombre  avanza  en sus  investigaciones , se le  presentan  dificultades .
ELEMENTO NEUTRO .
En el conjunto  de los enteros  existe  un número  que sumado  a cualquier  otro da siempre  este otro . A  este  número  se le llama  elemento neutro  de la suma  y es el cero .
{  + 2 } + { -3}  + { - 1} + O = -2.
conclusión.
De los ejemplos anteriores  podemos  extraer  la siguiente  conclusión  a }  cuando  sumamos  números  enteros  de igual signo , el resultado  es otro número  entero del mismo signo.
b}  cuando  sumamos  números  enteros  de distinto  signo el resultado  lleva el signo del número  de mayor valor absoluto.
ELEMENTO NEUTRO.
El  uno es el elemento  neutro  en la  multiplicación  de números  enteros .
{ -3 } . 1 = -3
{ + 7 } . 1 = + 7
Asi  número  primo  es el que  no tiene  otro divisores  que él  mismo  y la unidad , los que no son  primos  se dicen  compuestos.
PLANO.
Es  el conjunto  de puntos  que forman  un espacio  de dos dimensiones .
RECTA.
La intersección  de dos planos  es un conjunto  de puntos  que forman un espacio  de una dimensión  llamada recta.
PUNTO.
Es la intersección  de dedos rectas.
PITAGORAS .
El cuadrado  de la hipotenusa  es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
MÉDIDA DE ÁNGULOS .
La  unidad de médida  de ángulos es el ángulo recto , este se divide  en noventa partes  iguales  a los que se llaman  grados., cada grado  se subdivide  , a su vez , en sesenta minutos  y cada minuto, en sesenta grados .
SUMA DE SEGMENTOS.
Para poder sumar segmentos , es necesario  que estos  sean consecutivos .
ÁNGULOS  ADYACENTES .
Son aquellos que tienen  un lado  en común , siendo los otros  dos semirrectos  opuestos, los ángulos  adyacentes son un caso  particular  de ángulos consecutivos.
TEOREMA.
Un  teorema  es una propiedad  demostrable  y consta  de :  enunciado   y demostración . Asu vez , el enunciado  consta  de una  hipótesis , { conjunto  de datos conocidos }  y una tesis , { conclusión  que quiere  demostrase } , la demostración  es el proceso  por el cual  se llega  a demostrar  que la tesis  es verdadera.
POSTULADO DE EUCLIDES .
Por un punto  exterior  a una recta  puede trazarse  una única  paralela  a dicha recta {  esta propiedad  constituye  el postulado  de Euclides , base de la geométria  Euclidiana }.
POLÍGONO .
La palabra   polígono  está formada  por dos  voces de origen  griego : polys { mucho } y gonia  { ángulo }.
TRIÁNGULO .
Dados  tres  puntos  del plano , no alineados  y tales que las rectas  determinadas  por dos de los puntos  consecutivos  deje al restante  en un mismo  semiplano , se llama triángulo  a la intersección  de todos  semiplanos .
RECTÁNGULO.
Es  el paralelogramo  con los lados  opuestos  iguales  y los cuatro  ángulos  rectos , si un paralelogramo  tiene un ángulo  recto , los demás ángulos  también son rectos.
ROMBO.
Es  el  paralelogramo  que tiene  los cuatro  lados  iguales  y los ángulos  opuestos  iguales  dos a dos , si  un paralelogramo  tiene dos lados consecutivos  iguales , los cuatro lados  son iguales.
CUADRADO.
Es el  paralelogramo  que tiene  los cuatro  lados iguales  y los cuatro  ángulos rectos, por ser  un paralelogramo , el cuadrado  goza  de todas sus propiedades , además .
1} por tener  cuatro lados iguales  es un rombo  y goza de las  propiedades  del mismo .
2 } por tener  cuatro  ángulos  rectos  es un  rectángulo  y goza  de las propiedades  del mismo.
En  consecuencia  todo cuadrado  es rombo  y todo cuadrado es rectángulo  sus propiedades  especiales son .
1 } las diagonales  y las bases  medias del cuadrado  son ejes  de simetria .
2} la diagonal  del cuadrado  es bisectriz  del ángulo recto .
observaciones = es el único  cuadrilatero  que es polígono  regular .
Un triángulo  tiene siempre  dos ángulos   agudos , cuando  el tercer  ángulo  es recto , el triángulo  se denomina  rectángulo  ; cuando es obtuso , obtusángulo , y si también es agudo , acutángulo
NOTA: la obtención  de un triángulo  equilátero  perfecto  se consigue  mediante  la intersección  de dos circunferencias . otras propiedades  de los  triángulos  son la existencia  de dos ángulos  agudos , que el lado  mayor  es menor  que la suma  de los otros  dos , y que  la suma  de todos  sus ángulos  es igual  al ángulo  llano  o sea  ciento ochenta grados.
TRIÁNGULO ISÓSCELES.
La unión  ideal de tres puntos  geográficos  nos permite  obtener  la figura de un triángulo  con dos lados  y dos ángulos  iguales  se trata  de triángulos  isósceles. No  paralelogramos .
TRAPECIO .
Es el cuadrilátero  que no tiene  ningún  par de lados paralelos. los trapecios  pueden ser , rectángulos , isósceles , o escalenos.
TRAPEZOIDE .
Es el cuadrilátero  que no tiene  ningún  par de lados paralelos.
ROMBOIDE .
Es  el trapezoide  especial  que tiene dos lados  consecutivos  iguales y los otros  dos lados  iguales , pero distintos  de los anteriores.
CIRCUNFERENCIA  Y   CIRCULO.
Se llama  circunferencia  de centro O y radio  r  al conjunto  de los puntos  del plano  que están  a una distancia  igual   a   r  del centro  O.
C { O; r } se lee :  circunferencia  de centro  O y radio r.
Se llama  círculo al conjunto  de una circunferencia  más los puntos  interiores  a la misma , aunque  a veces  se confunden  ambos conceptos , obsérvece  que geométricamente , la circunferencia  es una linea ; en cambio , el círculo es una  superficie.
PROPIEDADES DEL DIÁMETRO.
1 } El  diámetro  es la  mayor  de las cuerdas  que pueden  trazarse  en una circunferencia .
2 } su longitud  es doble  de la del radio .
-----
AB = 2 r.
3  } el diámetro  divide  a la circunferencia  en dos partes  iguales llamados  semicircunferencias.
4 } divide al círculo  en dos partes  iguales  llamados  semicirculos.
5 -} todo diámetro  de una  circunferencia  perpendicular  a una cuerda  divide a ésta en dos partes iguales.
Superficie :  se refiere  a la forma  { puede ser una superficie  triángular  cuadrada, circular }.
ÁREA : es la médida  de la superficie  se refiere  al tamaño , para medir una supeficie  se toma  como unidad  un cuadrado cuyo lado sea igual a la unidad  de longitud.
UNIDADES DE  SUPERFICIE .
La unidad básica  para medir  superficies  es  un cuadrado  cuyo lado tiene un metro  de longitud : o sea el metro cuadrado.
FIGURAS  EQUIVALENTES .
Son aquellas  que son iguales  o que se obtienen  sumando figuras iguales , las figuras  equivalentes  tienen igual área . { su tamaño  es el mismo  aunque  varie su forma }.
EQUIVALENCIA  DE FIGURAS.
1 }  si dos  paralelogramos  tienen  igual base  e igual altura , son equivalentes .
2  } si dos rectángulos  tienen  igual base e igual  altura, son equivalentes .
3 }  si dos triángulos  tienen igual base  e igual altura , son equivalentes .
4 } un triángulo  y un paralelogramo  que tienen  igual altura  y la base del triángulo  es el doble  de la base  del paralelogramo  son equivalentes .
Esta propiedad  incluye , por extensión , la equivalencia  entre un  triángulo  y un rectángulo  y entre un triángulo  y un cuadrado , con sólo  cumplir  la condicción  enunciada.
5 } un triángulo  y un trapecio  que tienen    igual altura  y la base  del triángulo  es igual  a la suma  de las bases  del  trapecio , son equivalentes
TEOREMAS  SOBRE    ÁREAS.
Área  de un  rectángulo :  el área de un rectángulo  es igual  al producto  de su base por altura .
Área de un cuadrado :  el área  de un cuadrado  es igual  al cuadrado del lado.
Área  de un  triángulo :  el área  de un triángulo  es igual a la mitad  del producto  de su base  por su altura.
Área  de un rombo: el área  del rombo  es igual a la mitad  del producto de sus diagonales .
ÁREA DE UN TRAPECIO .
El área  de un trapecio  es igual a la semisuma  de sus bases  multiplicado  por su altura .
ÁREA  DE UN POLIGONO  REGULAR .
El área de un poligono regular  es igual al producto  de su  semiperímetro  por su apotema,
Área  de un  círculo  es igual al producto de  { Pi  } por el cuadrado  del radio , se puede considerar .
 { Pi }= 3,14  o { Pi } = 3,1416.
ÁREA  DE UNA CORONA CIRCULAR .
NOTA : EUCLIDES -  la  adquisición  de un conocimiento  es siempre valiosa por si misma .
El  área de una corona  circular  de radios  r y  r´ es igual  al producto  de { Pi } por la diferencia  de cuadrados  de dichos radios .
ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR .
El  área  de un sector circular : es igual  a la mitad  del producto  de la longitud  de su arco por el radio.
COROLARIO .
El área de un sector  circular  es equivalente  a la de un triángulo  que tiene  por base  la longitud  del arco  que limita  al sector  y por altura  el radio de la circunferencia .
PRISMA .
Se  llama prisma  al paliedro  limitado  por varios  paralelogramos  y dos polígonos  cuyos planos  son paralelos .
Altura  del prisma  :es la distancia   desde al plano que contiene  la otra  base, el prisma  cuyas aristas  laterales  son perpendiculares  a los planos  de la base  se llama prisma oblicuo .
PRISMA RECTO.
Es el prisma  cuyas aristas  laterales  son perpendiculares  a los planos  de las bases ,  las caras laterales  de un prisma  recto son rectángulares , si el prisma es recto  regular  sus caras  laterales  son rectángulos  iguales  y sus bases  son polígonos  regulares.
Si las bases  de un prisma  son triángulos , el prisma  es triangular , si las bases  de un prisma  son cuadriláteros  el prisma es cuadrangular , si las bases de un prisma  son  pentágonas el prisma es pentagonal.
CUBO.
Es el  ortoedro que tiene  todas sus aristas  y sus seis caras son cuadrados , se llama también  hexoedro , regular .
PIRAMIDE .
Es el  paliedro  que tiene  una cara  que es un  poligono  cualquiera  al que se le llama  base  y las caras  laterales  son triángulos  que tienen  un punto en común  llamados vértice.
PIRAMIDE REGULAR .
Se llama  asi  la piramide  cuya base  es un polígono  regular , y el pie de la altura  es el centro  de dicho  poligono .
PROPIEDADES
1 }  si una  pirámide  es regular , sus caras  laterales  son triángulos , isósceles  iguales .
2 } la altura  de cada  uno  de dichos  triángulos  se llama  apotema  de la pirámide.
3 } sus aristas  laterales  son iguales  cuando  una pirámide  regular  se secciona  con un plano  paralelo  a su base , se llama  tronco  de pirámide  regular  a la parte  de la pirámide  comprendida  entre el plano y la base .PIRAMIDE REGULAR .
Bastará determinar  la superficie  de uno de los triángulos  isósceles , que son cora laterales  y multplicarla  por el número  de caras  de la pirámide , { en general la expresamos con  { n }.
Si  unimos  cuatro tiras  iguales  dos a dos, de modo que las parejas  iguales son consecutivas , obtendremos  un cuadrilátero  deltoide , si la tira  de una longitud  le sigue  otra de longitud  distinta  obtendremos  un cuadrilatero paralelogramo.
CILINDRO .
Superficie  cilindrica  de revolución ;  es la superficie  engendrada  por una recta  llamada  generatriz  que gira  paralela a otra llamada  eje, cumpliendo  la condición  de que durante  la rotación  mantienen  entre si  la misma distancia.
CILINDRO CIRCULAR RECTO .
Es la parte  del espacio  limitada  por una superficie  cilindrica  de revolución  comprendida  entre  dos planos  perpendiculares  a su eje.
ALTURA DEL CILINDRO CIRCULAR RECTO.
Es la distancia  entre las bases   o. lo que es equivalente , la longitud  de su generatriz .
CONO.
Superficie  conica  de revolución : es la superficie  engendrada  por una  semirrecta  que gira alrededor  de un eje  perpendicular  al plano  de una  circunferencia  en su centro , cumpliendo  la condición  de que su origen  pertenece  al eje  y no es perpendicular  a él  el punto V se llama vértice.
CONO CIRCULAR RECTO.
La  sección que produce dicho plano  es un círculo  con centro  en el eje : dicho círculo se llama base .
Altura  es la distancia  desde el vértice  al plano de la base.
El radio  de la base  es el radio del cono .
Observación :  al cono circular  recto  se lo puede  considerar  como el cuerpo  geométrico  engendrado  por la revolución  completa  de un triángulo rectángulo  alrededor de uno de  sus catetos .
Tronco de cono de  bases paralelas  es el conjunto  de puntos del cono circular recto ,comprendido entre la base yun plano  paralelo  a ella: los circulos que la limitan  se llaman  bases ,altura es la distancia  entre las bases.
Oservaciones : el tronco  de cono debases paralelas  es el cuerpo  geométrico  emgendrado  por la revolución  completa  de un trapecio  rectángulo  alrededor  de un eje que contiene al lado que forma los ángulos rectos.
ESFERA .
Superficie  esférica  de revolución : es la superficie  engendrada  por una semicircunferencia  que gira  alrededor  de su diámetro , todos los puntos  de la superficie  esférica  equidistan  de un punto llamado centro, la distancia  desde dicho  punto a cualquiera  de la superficie  esférica se llama radio .
Esfera : es el conjunto  de todos los puntos  de la superficie  esférica  de revolución  y todas las interiores a la misma .
Observación :  se puede considerar  la esfera como  el cuerpo geométrico  engendrado por la revolución  completa  de un semicirculo  alrededor  de un eje  que contiene se diámetro ...
ÁREA -- superficie  esférica = 4 { Pi }  radio al cuadrado.
Segmento  esférico.
Es la  parte  de la esfera  comprendida  dos planos  paralelos .
HUSO   ESFÉRICO.
Es la  intersección  de una superficie  con un ángulo  diedro  cuya arista contiene  al centro de la esfera.
CUÑA ESFÉRICA.
Es  la intersección  de una esfera  con un ángulo  diedro que contiene al centro de la esfera.



























































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LA COMUNICACIÓN

El  fin de la comunicación  no es sólo que  el otro comprenda  qué queremos  decir : " la eficacia  desde el punto de vista  de la comunicación  requiere  que cada interlocutor  comprenda  lo que los demás  interlocutores  tratan de decirle ".Desde esa comprensión  podremos realizar  la toma de decisiones  que estimemos oportuna.
Lo curioso de la comunicación  es que  lo más importante  no es lo que se dice , sino cómo se dice , por lo que el significado  de las palabras  viene determinado  por la persona que escucha y no por lo que habla..
LA COMUNICACIÓN  ESCRITA.
En la  comunicación  escrita  el emisor  no puede obtener  una retroalimentación  inmediata  ni tampoco  hay posibilidad  de comunicación  no verbal , por ello  deberá   siempre  presentar  las  siguientes  sugerencias.
ADECUACIÓN.
Estar  bien presentada , respetar  la normas  ortográficas  y semánticas .
Utilizar  un leguaje  sencillo y cortés , vocabulario que se adapte  al receptor , debe usarse frase cortas , el texto debe ser breve , cuidar  la limpieza, calidad del papel  e impresión.
COHERENCIA.
Ser claro  y hordenado , un sólo párrafo para desarrollar  una idea  y separar los párrafos con punto y aparte.
LA  COMUNICACIÓN ORAL:
La comunicación  oral es aquella que se establece  entre dos o más personas , tiene  como medio de transmisión  el aire y como código un idioma  cada vez que nos comuniquemos hace uso de un lenguaje. existen  cuatro máximas implicativas  que deben cumplirse para llevar a cabo una buena comunicación oral.
Cualidad, Cantidad , Relevancia , Manera.
PARA HABLAR EN  PÚBLICO .
Necesitarás  un mensaje  o una idea para transmitir . Este es el punto de partida. luego  necesitarás  las palabras  que le darán vida a ese mensaje.
ORATORIA.
Oratoria es el arte de expresarse  en público por medio  de la palabra ; arte que obedece  a reglas intelectuales , morales y materiales : no debe confundirse  con elocuencia  que es un facultad  mediante la cual , valiéndose  de la palabra   el hombre  convence , persuade y deleita, la elocuencia  es , un don  : oratoria es un arte..Tipos de oratoria , politica , forense, sagrada, académica , y militar.
LA COMUNICACIÓN.
Para  el desarrollo  de la comunicación  es indispensable  la atención ; concentración  selectiva de la actividad  mental que implica  un aumento de eficacia sobre un sector determinado y la inhibición - rechaza  de la actividad  concurrente. si ganamos atención , tendremos  la respuesta  del público , si al exponer informa sobre un  hecho ,que pueden bien enterados, si explica el qué  y porqué de un problema los entienden en toda su dimensión.
E l que  quiera  hablar en público  deberá tener algo que decir ; mensajes, estos deberán estar elaborados  y tener un sentido de dirección, dirección que al finalizar la elocución , deberá propiciar que  él   logre eficazmente  su objetivo.El  éxito o el fracaso en la vida, no es otra cosa que , la suma de los pequeños detalles .
La oratoria  es el concepto  que define  al arte de comuncicar ideas  mediante  la expresión  oral y es una habilidad  inherente  al que ejerce algún  liderazgo  en cualquier rama del conocimiento  que  involucre  a más de una persona .
EL HABLA:
El habla es el uso particular  e  individual  que hace  a una persona  de una lengua para comunicarse , cuando hables en público  siempre habrá dos que hablen ,  gente  que no escucha  e incluso como sea  el acto inclusive  se levanten  y se vayan , tienes que hacer  caso omiso  de esos, debes  centrarte  en los que si te hacen caso, lo que debes hacer  es centrarte  en los que si prestan atención  ¿ porque ? pues  porque te sentiras mejor , te animarás  más  y cada vez hablarás  con más emotividad y mejor.
                                         ESCUCHAR :
Es el  fundamento  de toda relación  humana y es una prueba  de estima  y de respeto  hacia alguién , escuchar  significa  estar  disponible , es tomarse  tiempo  por la otra persona , y por lo tanto , aceptar   y comprender  lo que siente , lo que le hace actuar .
¿ EN QUE  CONSISTE ESCUCHAR  ?
Escuchar   pide hacerse  un esfuerzo  sobre si mismo  de interés ,  de concentración , de atención  y de mostrarse  verdaderamente  disponible  para su interlocutor , es´por lo tanto  evitar  el silencio pasivo .
¿ Cuál es el impacto  psicologico  del hecho  de escuchar ?.
Hacerle verbalizar  lo que siente  y permitirle , poco a poco , aprender  a escucharse a si mismo  y a encontrar  su propio camino , se trata de una  aproximación   centrado en la persona  y no en su problema .
EMPATÍA:
Esto consiste  en ponerse en el lugar del otro para comprender  mejor lo que siente  pero sin sufrir con él.
escuchar  es , en primer lugar  callar beneficios , amplia el marco de referencia ,cultura e intereses  del que escucha.,  el que escucha con atención , proyecta una imagen de respeto e inteligencia , quién controla  una conversación  no es quién más habla  sino quién más escucha .
Desarrollar  esta habilidad requiere ,más que ninguna otra  , de una gran voluntad  y disposición hacia el cambio de enfoques conductos y formas de verlas cosas , cada uno  de nosotros  es una fortaleza  inexpugnable  que únicamente  será desvatado desde dentro.
                            HABLAR CORRECTAMENTE:
Como hablar correctamente  se basa en que te entiendan , se muy expresivo, tienes  que ser expresivo , emotivo y creerte  lo que dices, el mundo no lo cambian   las palabras  sino las emociones que hay detrás de estas palabras .
Estate tránquilo  y relajado al hablar  cuando hables  debes estar sereno  y tránquilo para que las palabras fluyan , simplemente  habla con tranquilidad  cuando domines eso podrás aplicar todas las demás técnicas.
Nuestra forma de hablar  es nuestra  carta de presentación  frente a quienes  no nos conocen , mediante  ello se expresa  nuestra  con los demás y con el mundo..
Habla en tono y volumen adecuado.
Modular  correctamente
Evitar muletillas
Utilizar  correctamente  el lenguaje .
Evite el lenguaje  sexista.
Una buena comunicación  es clave para el éxito ,  si quieres saber cómo hablar  bién y con seguridad , debes creer en ti mismo
                                           VOCABULARIO :
Poseer  un buen vocabulario  capacita  expresarse  con precisión , claridad  facilidad y belleza.
" no te averguences  de querer aprender las cosas  que no sabes , porque es digno de alabanza  el saber alguna  cosa y es verguenza  no querer saber nada     PLATÓN "
Comunicación  verbal.
Usar un lenguaje  adecuado al  público que escucha , ser breves  y concisos, hablar con entusiasmo , hasta  estilizar  el modo de hablar  y los gestos..
                            LA COMUNICACIÓN.
EMISOR -------MENSAJE-----RECEPTOR.
                           CODIGO.
MENSAJE --es algo que se desea  transmitir .
EMISOR y RECEPTOR---- una  , es lo que  transmite  el mensaje y la otra , es a quién  se le transmite .
CODIGO -----se trata  de un conjunto  de signos que le permite  al emisor  transmitir  el mensaje , de manera que el receptor  pueda entenderlo , codigo es el idioma .
Comunicación --es el proceso mediante el cual se puede transmitir  información de una entidad a otra.
Comunicación oral ---se produce  por el  canal  auditivo  y es la forma de expresión  más común  del ser humano.
Escrita -- se realiza a través  del canal  visual, y transmite  mediante la lectura una información más precisa que se produce oralmente.
                                         MIEDO.
El  público  no es el enemigo -- no se  debería tener  un miedo desproporcionado   o hablar en público, tener  miedo antes de una intervención  pública  es algo natural , hay que analizar  este miedo que a uno le  atenza y trata  de descubrir  las causas que lo originan  { gran parte de este miedo es irracional } , la mejor forma de combatir  este miedo es con una adecuada preparación : uno debe autoimponerse  tranquilidad  especialmente en los momentos  iniciales  de la misma .
El orador  debe  conocer  el lugar  en el que  va a  hablar : nota  : lo que  no  se debe hacer  es no conocer  el lugar  donde se va a hablar  hasta el momento de  la intervención , el público agradece lña brevedad , el orador  debería  llevar preparado material adicional , también debe tener  identificado  parte del discurso que se puedan omitir , hay que controlar el tiempo.
Conclusión.---hay  que dedicarle  el tiempo necesario para poder desarrollarlo  convenientemente , el orador sólo se  extenderá en la médida  en lo que tenga algo interesante que decir.
                                   ORATORIA .
Caracteristica = presentación  buena,  buen vocabulario , tener un léxico  abundante  se debe definir  claramente  que se quiere  lograr  con  la intervención , el tener  esto claro  determinará  la forma en la cual se va  a transmitir el mensaje.
Pronunciar  correctamente  las palabras , a decirlas con el acento  adecuado  de la forma correcta  y con una buena  vocalización  de esta manera se garantiza  que las palabras  van a ser percibidas  como debe  ser por el  público evitando asi  distorcionar  el mensaje.
                                 HABLAR EN  PÚBLICO.
Fundamental  tener claro el  objetivo de la intervención, hablar en público consiste  en lograr establecer  una comunicación  efectiva  con el mismo, en lo que  uno sea capaz  de transmitir sus ideas : { es una oportunidad  que hay que saber aprobechar }, por ello  las intervenciones  hay que  prepararlas  a conciencia  el orador decir esto { exige  dominar las  técnicas de la comunicación} , una cosa es saber conocer una materia , y otra muy distinto saber hablar de la misma. Lo primero para perder ese miedo es enfrentarlo a ello , haz un esquema  y vas hablando con naturalidad sobre cada uno de los puntos del esquema, procura hablar despacio, alto, claro y vocalizado, hay que observar  más lo que se hace que lo que se dice, conocete a ti  mismo : saber escuchar la voz interior es la destreza máxima  ya quien no sabe lo que quiere hace  indiferente  al camino que elija, pues lo primero que debe hacer es convertir la idea o sentimiento que desea transmitir en palabras  interpretar la realidad de manera que confirme lo que esperamos.
HABLAR EN  PÚBLICO CORRECTAMENTE.
Claves : la voz , la postura  del cuerpo , el movimiento de las manos , la mirada, la vestimenta , la sonrisa, la convicción  al hablar, la autoridad, la  seguridad, la valentía, el entusiasmo  etc. No descuides estos elementos  ya que el manejo  adecuado  de cada uno  de ellos puede ayudarte , para que vea en ti a un correcto orador y de ese modo alcanzar el éxito en tus discursos. lo mejor es la sencillez y la claridad , el lenguaje  más  común  y conocido por el auditorio  al que nos dirijimos .
Preparar  muy bién  el comienzo , seguridad , antes de comenzar  respire profundamente , hágalo varias veces  ; tenga una mentalidad  positiva  y vaya para adelante , si es  introvertido  sencillamente  tiene que cambiar  esta actitud , por lo menos  en el momento  de expresar  sus mensajes: siempre debe tener listo su esquema  al iniciar.
Dale Carnegie - señala " hay  que estar  preparados , hay que captar la atención  desde el  inicio , y luego vender sus ideas.
10  TÉCNICAS -- HABLAR EN PÚBLICO.
1--preparación= cuanto más sepamos , más seguros  estamos.
2--aparentar seguridad =  es muy importante  hacer  creer que si .
3--elemento de apoyo = coger un boligrafo .
4--esquema de lo que va a decir =  apuntar unas cuantas palabras .
5--ensayar ante un espejo =  de el discurso  delante del espejo  o ver que le parece.
6--hablar despacio = pensar  " voy a hablar despacio " .
7--ropa  elegante , pero comoda = depende la imagen  que quiera  dar .
8-no ponerse nervioso  ante las   preguntas = no tituberar .
9--beba agua = le permite aclarar la voz.
10--mire a sus espectadores  a los ojos = son personas, mirar a ellas.
 Al  momento de ser anunciado  hay que levantarnos  de nuestro asiento  y caminar  con naturalidad  hacia nuestra ubicación en el escenario , cuerpo erguido  y una sonrisa agradable  en el rostro.
Ubicación en el escenario.
El orador  debe  ubicarse  en un lugar  estrategico  del escenario , le corresponde  ubicarse  a un costado del escenario  en posición  diagonal, de esta manera  nada la espalda a nadie  y se ubica  en un lugar  comodo donde puede ver a todoss los asistentes  y estos pueden verlo a  él.
                                            EL SALUDO.
En el saludo , el orador  entra en contacto verbal con el público , y se  efectúa  siempre  por orden  jeraquico  es decir  del más importante  al menos importante .
dos partes { identificación ,y complementación }.
identificación - por su grado  cargo titulo  y / o nombre .
complementación -es una cortesia  breve ,buenos dias , buenas noches : no olvidarse  de saludar  al  público o multitud  reunidos ellos constituyen la base de todo reunión oratoria.
                       SILENCIO PSICOLOGICO.
Debe  esperar a que se  produzca  el silencio absoluto  nadie del  público  debe hablar ni hacer  ruido - jamás  y por ningún motivo ; debe hacerse  uso  de la palabra  cuando los  presentes  están aplaudiendo , conversando u ovacionando  al orador , el es el dueño  de la reunión , evite las miradas fijas e incómodas  y concéntrese  en aquellas que se muestran amistosas.
Oratoría =  es el  arte de hablar  en público  con elegancia  para persuadir, convencer , educar  o informar a un auditorio. ganar el derecho a hablar  es el proceso de atraer  y mantener  la intención , el cuál  constituye  la primera finalidad de todo orador.
RETORICA .
Define  " el arte  de la comunicación  eficiente y efectiva  entre dos individuos  por medio del lenguaje" .
Consideraciones básicas.
El  solo dominio del tema  no asegura el  éxito , el  fracaso  es responsabilidad  del expositor , significa que ha pensado en  él  y no en el público, la naturaleza de la comunicación  exige dos protagonistas .: emisor, expositor y receptor público , conjunto de personas que participan de las mismas aficciones  o concurren  a determinado lugar.
LA  PUNTUACIÓN.
Puntuar  ayuda a comprender , sino manejamos correctamente la puntuación  es casi imposible comunicarse correctamente.
FONÉTICA.
¿ Que es la fonética ? Es el conjunto  de sonidos de un idioma y es definitiva , lo que ayuda en algunos casos a saber cómo escribir ciertas palabras.
PARTES DE LA COMUNICACIÓN.
El receptor --es la persona  a   quién  va dirigido el mensaje.
El mensaje --es el núcleo  de información.
El emisor ---es la persona  que toma  la  iniciativa  de comunicar.
El contexto---es la situación  donde se desarrolla la comunicación .
El codigo---es el conjunto  de normas y   símbolos  que sirven  para  transmitir el mensaje, y debe ser comprendido por el receptor .
El canal ---es el medio  a través  del cual se emite  el mensaje  { auditivo, oral,gráfico,visual.}.
Los ruidos--son las alteraciones  que se producen  durante la trasmisión  del mensaje.
Los filtros--son las interferencias o barreras mentales , tanto del emisor  como el del receptor originadas por su  experiencia.
La  Retroalimentación -es el conjunto  de información  que obtenemos de la propia comunicación  y nos permite evaluar el proceso.
CARACTERISTICAS DE UN BUENA COMUNICACIÓN
Claridad = exponer  ideas concretas   y definidas , con frases  bien construidas  y terminología  común  y alcance de los distinatorios  si hay que emplear  palabras que puedan presentar dudas  al auditorio mejor es detenerse  en explicarla para que  puedan ser comprendidas.
Concisión= utilizar  las palabras  justas ; huir de  palabreria .
Coherencia = construir  los mensajes  de forma lógica, encadenando  ordenadamente  las ideas y remarcando lo que son hechos  objetivos  y lo que son opiniones ,sean  el orador o de otras personas.
Sencillez = tanto  en la forma de construir  nuestro mensaje  como en las palabras  empleadas .
Naturalidad = requiere una expresión viva y espontanéa  lo que implica  vulgaridad y descuido.
Es la  prueba del dominio del lenguaje  y el camino para lograr esa naturalidad  precisamente  por una concienzuda  preparación  de la intervención: sólo asi , con preparación y ensayos , se puede asegurar
convenientemente  que el mensaje llegue a sus destinatarios  de forma precisa y fácilmente comprensible.
IMPORTANCIA DE LA EXPRESIÓN ORAL Y LA COMPRENSIÓN.
La sociedad  de hoy exige  una eficiente  capacidad conmunicativa.
Siguientes aspectos :  articulación  correcta , de modo que la pronunciación  de los sonidos  sea clave.
-entonación  adecuada  a la naturaleza  del discurso .
- expresión  con voz audible  para todos  los oyentes .
- fluides en la  presentación de las ideas .
-adecuado  uso de los  gestos  y la mimica.
-participación  pertinente  y oportuna.
-capacidad de persuasión.
-expresión clara de las ideas .
La  mejor manera  de desarrollar  estas habilidades  es participando  en situaciones  comunicativas  reales .
La expresión  oral también implica  desarrollar  nuestra capacidad  de escuchar para comprender  lo que nos dicen los demás .
Una sociedad que aspira  a la tolerancia  y a la convivencia pacifica y armoniosa, tendrá como  uno de sus  propósitos  esenciales desarrollar la capacidad de escuchar de sus habitantes
EXPRESIÓN ORAL.
VOZ--la imagen  auditiva   tiene gran  impacto para el auditorio .
Postura --es necesario  que el orador  establezca  una cercania  con su auditotio : por eso  debe  evitarse  la rigidez  y reflejar  serenidad  y dinamismo.
Mirada--el contacto ocular  y la dirección  de la mirada  son esenciales  para que la audiencia  se sienta acogida.
Dicción --el hablante  debe tener  un buen  dominio  del idioma , tal conocimiento  involucra  un adecuado  dominio  de la pronunciación  de las palabras la cual es necesario para la comprensión  del mensaje.
Estructura del mensaje---un buen orador  no puede llegar a  improvisar el mensaje debe estar bién elavorado
Vocabulario--al hablar, debe utilizar  un léxico  que el receptor  pueda  entender.
Gestos --calculo que el 55 % de lo que se comunica se hace  mediante gestos .
Cuerpo - es importante , sobre todo , no mantener  los brazos  pegados  al cuerpo o cruzados.
                                                PERICLES.
EL QUE SABE PENSAR , PERO NO SABE EXPRESAR LO QUE PIENSA , ESTÁ EN EL  MISMO NIVEL DEL QUE NO SABE PENSAR.