ECUACIONES Y FUNCIONES.

ECUACIONES .
En  el conjunto  de las expresiones  algebraicas  una igualdad  entre ellas  es una relación  de equivalencia .
Si dicha  igualdad  se satisface  para cualquier valor  asignado  a sus letras , se llama  identidad  y , solo se satisface  para algún  x { valor asignado  a sus letras } se llama ecuación.
IGUALDAD :
Identidad  { para cualquier  valor que satisface  la igualdad }
ecuaciones { para determinar valores que satisfacen la igualdad }.
Las  ecuaciones  se clasifican  en enteras, fraccionarias e irracionales.
1 } Una ecuación  es entera cuando  las variables  o incógnitas  están sometidas a las operaciones  de suma y producto.
2 } Una ecuación  es fraccionaria  cuando  sus incógnitas  o por lo menos una de ellas, se halla en el denominador.
3 } Una  ecuación  es irracional  cuando una incógnita  figura bajo el signo radical.
Se llama ecuación  de primer grado  con una incógnita  a aquella  en que  la  incógnita  está elevada a la primera potencia.
René Descartes { 1596 - 1650 }, creador de la geométria analítica.  quien fue  las coordenadas ; ortogonales , por ser  los ejes  perpendiculares . La intersección  de los  dos ejes  es el punto  O , llamado  origen . Se  considera  un eje horizontal  { eje x } , llamado  abscisa , y otro eje vertical  { eje y } , llamado  ordenada .
Se utiliza  unidades  de longitud  cuyo cero está en  O , con números  positivos  y negativos .
Dos ecuaciones  de primer grado   con dos incognitas  cada una , que deben  admitir simultáneamente  a las mismas  raices, forman un sistema  de dos ecuaciones  con dos incognitas .
Toda ecuación  que puede  reducirse  a un polinomio  entero  de segundo grado  en dicha  incógnita , igualado  a cero , mediante  operaciones  aritméticas , se llama ecuación  de segundo grado con una incógnita .
CONO .
La superficie  resultante  de un corte  efectuado en cualquier  dirección  en un cono  es una sección  de cono.
Siglos  XVI . y XVII,  KEPLER , GALILEO,  y NEWTON , demostraron  que la fuerza de la gravedad  obliga a los cuerpos  celestes  a evolucionar  describiendo  curvas  de sección  de cono , observación  muy aplicada en óptica, balistica , los viajes espaciales etc.
EL  CÍRCULO .
La rueda  es la aplicación  técnica más antigua .
LA ELIPSE .
Las balletas  de los coches  son a menudo semielipticas.
LA PARÁBOLA .
Los reflectores  de los faros  de los coches  y de los telescopios  eléctricos  son parábolicos .
LA HIPÉRBOLA .
Si el  ángulo del corte  es más agudo , se genera  una superficie  hiperbólica , según  la distancia  la masa  y la velocidad , los vehiculos  espaciales  pueden describir  trayectoria  hiperbólica  al acercarse a los cuerpos celestes.
 EL CÍRCULO.
Un círculo  es la superficie  cerrada limitada  por una circunferencia  { curva cerrada cuyos puntos  equidistan  de otro llamado centro .} , la distancia  entre la circunferencia  y el centro se llama radio.
LA CÍRCUNFERENCIA  DEL CÍRCULO.
Si se  proyecta  sobre un plano  la circunferencia de un círculo  su  longitud es poco mayor  que el triple  de su diámetro .La razón  de  proporcionalidad  entre  la longitud  y el radio se designa  con el simbolo  griego  { pi }. Este  es un  número  irracional  que no puede  expresarse  por completo  con cifras decimales  sin embargo el valor que se emplea  corrientemente  es de  { 3,14 } .
GEOMETRIA DEL CÍRCULO .
La  distancia  de la circunferencia  al centro  se llama radio . Cuerda es la linea  recta  que une  dos puntos  cualesquiera  de la circunferencia : la mayor cuerda  que puede trazarse  se llama  diámetro , un sector  es la superficie  delimitada  por los radios  y un arco, y éste es la  porción  de circunferencia  comprendida  entre dos radios  : una cuerda  y un arco  limitan  un segmento , y una secante es una línea  recta que corta la circunferencia .
GEOMETRÍA ANALITICA.
Sabemos que el plano  es un conjunto  de puntos  que forman  un espacio de dos dimensiones , las dos dimensiones pueden representarse  mediante dos ejes ortogonales cartesianos.
El eje  horizontal   X      recibe  el nombre  de  eje de abscisas. El eje  vertical  Y recibe el nombre de eje de ordenadas . Un  punto en un plano  queda  determinado  mediante  el par ordenado  { x;y } . Las coordenadas  de un punto son los valores  de X ; Y que lo determinan.
La representación  gráfica  debe hacerse  a escala, para lo cual se toma una unidad  de medida . Resulta  conveniente  adoptar un segmento  como medida unitaria.
FUNCIÓN .
Cuando  para cada valor  de la variable  X obtenemos  mas valores  de Y, decimos que  Y es  función de X.
simbólicamente  Y = f { x }  notación de euler.
se lee :       Y es  igual a una función  de X ; dónde  X es igual  a la variable  independiente Y es igual a la variable  dependiente.
CÓNICAS .
Son  líneas  que se determinan  al cortar  un cono con planos  de distinta  inclinación  las cónicas son : circunferencia, elipse, parábola e hipérbola.
Es importante tener en cuenta que son lineas  y no superficies.
CIRCUNFERENCIA.
Es la linea  que se observa al cortar  un  cono  recto con un plano paralelo a la base
ELIPSE
Es  la linea que se observa  al cortar  un cono recto con un plano oblicuo.
PARÁBOLA .
Es la linea  que se observa  al cortar  un cono recto con un plano  paralelo  a la  generatriz .
HIPÉRBOLA .
Es la linea  que se observa  al cortar  un cono  recto con un plano perpendicular  a la base del mismo .
CIRCUNFERENCIA .
Lugar geométrico  de los puntos  del plano  que equidistan  de otro llamado centro.
La distancia  de los puntos  se llama  radio y se designa  por  R, haciendo coincidir  el origen  de coordenadas  con el centro de la circunferencia.
ELIPSE.
Dados en el plano  dos puntos  fijos , llamados  focos,  se llama elipse al lugar  geométrico  de los puntos  del plano  tal que  la suma  de sus distancias  a los focos  es constante.
PARÁBOLA .
Dados  en un plano  una recta  y un punto exterior , se  llama parábola  al lugar geométrico  de los puntos  del plano  que equidistan  de la recta  llamada directriz , y del punto o foco . La  directriz  se designa  con la letra   d ;  el foco de la parábola  se designa  con la letra  f.
EJE. = es la perpendicular  a la  directriz  que pasa  por el foco.
PARÁMETRO =  es la distancia  entre el foco  y la directriz  ; se indica con la letra P.
VÉRTICE  =  es el punto  donde  la curva  corta al eje ; dicho punto  se encuentra  a igual  distancia  de la directriz  y del  foco . se indica con la letra   V.
La distancia  entre el vértice  y la directriz se indica con P /2.
SISTEMA DE MEDICIÓN.
Es  conveniente  recordar  que medir  un ángulo  es compararlo  con otro  ángulo  que se considera unidad  de medida , hallando la razón  del primero al segundo.
De igual forma , podemos  decir  que medir un arco de circunferencia  es compararlo con otro arco que se considera unidad de medida, hallando la razón del primero al segundo.
DEMOCRITO : mantuvo  la teoria  de que  las lineas  están compuestas  por un número  infinito  de puntos , las superficies  por una sucesión  de lineas y los cuerpos  sólidos por infinitas superficies .
1} UNA DIMENSIÓN .
La linea  como una sucesión  de puntos .
2 } DOS DIMENSIONES.
la superficie  como una sucesión  infinita de lineas.
3 } TRES DIMENSIONES .
el cuerpo  formado  por infinitas superficies .
Las tres dimensiones  euclidianas  es muy adecuado para el uso diario. Empleando  los conceptos  de longitud , anchura y altura  se puede llegar  a especificar  la posición  de los cuerpos  tridimensionales  en el espacio  como su caracteristicas.
LA CUARTA DIMENSIÓN .
En la teoría  de la relatividad  EINSTEIN  introdujo  el tiempo como cuarta dimensión , para describir  el movimiento de los cuerpos  en el espacio  es necesario  según Einstein  referirse a la  distancia espacial y temporal.
GEOMETRÍA DEL ESPACIO.
Las  dimensiones  de las pirámides  reflejan  la capacidad  que los antiguos  egipcios  tenían  para resolver complicados problemas  de geometría  tridimensional.
Según la geometría  Euclidiana , sólo  existian  tres dimensiones : longitud , anchura, y altura.
En el siglo  XIX se demostró  la posibilidad  de concebir  cuatro o más dimensiones { espacios de  N dimensiones }, aportación que seria  fundamental  para las modernas concepciones  fisicas del espacio .
LA TRIGONOMETRÍA.
Es  la parte  de la geometría  que estudia  las relaciones  entre los lados de un triángulo  rectángulo  y las razones  goniométricas  correspondientes  a su ángulos . Las razones  goniométricas  conocidas son el  Seno , Coseno, la Tangente , la Cotangente , la Secante  y la Cosecante .
Existen  muchas ciencias que precisan  de la  trigonometría , como la Astronomía , la Topografía , y la Nautica entre otras.
TRIÁNGULOS EQUILATEROS .
En un  triángulo equilatero  todos sus ángulos  miden 6o °  teniendo en cuenta  esto , podemos  ver como  dicho  triángulo se divide en dos triángulos  rectángulos  y sabiendo lo que mide  cada uno de sus lados , podremos cálcular  la altura   a través  del Teorema  Pitagoras .
TEOREMA DE PITAGORAS .
En todo  triángulo  rectángulo , el cuadrado  de la  hipotenusa  es igual a la suma de los cuadrados de los catetos .
Por  el teorema  que dice  cada cateto  es medio  proporcional  entre  la hipotenusa  y su  proyección sobre ella .
CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO.
Se llama asi al círculo  cuyo radio vale la unidad .
Resolución  de triángulos rectángulos  sabemos que todo triángulo  consta  de  6 elementos  que son  : tres lados  { 2 catetos  y la hipotenusa } y tres ángulos .
Con sólo dar como datos  tres  de estos  seis  elementos , queda bien  determinado  el triángulo . En nuestro  caso , como es rectángulo  hay un elemento  que conocemos  de antemano  el ángulo recto.Entonces , sólo es necesario  conocer dos elementos { uno de los cuales  tiene que ser un lado } para determinar las  restantes .
Los casos  que se pueden  presentar   son los que siguen.
----dados  los dos catetos
----dados  un cateto  y la hipotenusa
----dados un cateto  y un ángulo  agudo
----dados la  hipotenusa  y un ángulo agudo
LOGARITMO DE UN NÚMERO.
El  logaritmo de un número  real  y positivo  n , en la  base  b , es el exponente  x de la potencia  a la que hay  que elevar  la  base  para  obtener  el número n .
PROPIEDAD UNIFORME .
Los  logaritmos  de números  iguales  en la misma base son iguales ,, para poder  operar  con logaritmos , éstos deben  tener  igual base .
El  logaritmo  de un producto es igual a la suma de los logaritmos  de los  factores .










 









 





















 





























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