Desde la más remota antiguedad el concepto de Matemáticas se identificó con el " ciencia de los números y de las figuras ".
Conjunto.
Significado de colección de varios objetos = los objetos que intengran un conjunto reciben en matemática, el nombre particular de elementos del mismo ; se representan simbolicamente por medio de letras minusculas cursivas.
= igual a .
/ tal que .
U reunión o unión .
< menor que .
> mayor que .
/ / paralela a .
A cada conjunto se lo designa mediante una letra mayuscula de imprenta : ejemplo , M representa el conjunto de lo dedos de la mano.
CONJUNTO VACIO.
Se llama conjunto vacio al que carece de elementos .
CONJUNTO UNITARIO.
Se llama conjunto unitario al que tiene un solo elemento.
A = { x / x es satélite de la tierra.}
Suma = a + b = c.
suma de a y b es el número natural c ; a y b se llaman sumados ; c es la suma .
En el conjunto de números naturales existe un número que sumado con cualquier otro da siempre ese otro. A, esté número se le llama elemento neutro de la suma y es el cero.
m + o = m.
5 + o = 5.
Un conjunto es la reunión de una clase de elementos
A médida que el hombre avanza en sus investigaciones , se le presentan dificultades .
ELEMENTO NEUTRO .
En el conjunto de los enteros existe un número que sumado a cualquier otro da siempre este otro . A este número se le llama elemento neutro de la suma y es el cero .
{ + 2 } + { -3} + { - 1} + O = -2.
conclusión.
De los ejemplos anteriores podemos extraer la siguiente conclusión a } cuando sumamos números enteros de igual signo , el resultado es otro número entero del mismo signo.
b} cuando sumamos números enteros de distinto signo el resultado lleva el signo del número de mayor valor absoluto.
ELEMENTO NEUTRO.
El uno es el elemento neutro en la multiplicación de números enteros .
{ -3 } . 1 = -3
{ + 7 } . 1 = + 7
Asi número primo es el que no tiene otro divisores que él mismo y la unidad , los que no son primos se dicen compuestos.
PLANO.
Es el conjunto de puntos que forman un espacio de dos dimensiones .
RECTA.
La intersección de dos planos es un conjunto de puntos que forman un espacio de una dimensión llamada recta.
PUNTO.
Es la intersección de dedos rectas.
PITAGORAS .
El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
MÉDIDA DE ÁNGULOS .
La unidad de médida de ángulos es el ángulo recto , este se divide en noventa partes iguales a los que se llaman grados., cada grado se subdivide , a su vez , en sesenta minutos y cada minuto, en sesenta grados .
SUMA DE SEGMENTOS.
Para poder sumar segmentos , es necesario que estos sean consecutivos .
ÁNGULOS ADYACENTES .
Son aquellos que tienen un lado en común , siendo los otros dos semirrectos opuestos, los ángulos adyacentes son un caso particular de ángulos consecutivos.
TEOREMA.
Un teorema es una propiedad demostrable y consta de : enunciado y demostración . Asu vez , el enunciado consta de una hipótesis , { conjunto de datos conocidos } y una tesis , { conclusión que quiere demostrase } , la demostración es el proceso por el cual se llega a demostrar que la tesis es verdadera.
POSTULADO DE EUCLIDES .
Por un punto exterior a una recta puede trazarse una única paralela a dicha recta { esta propiedad constituye el postulado de Euclides , base de la geométria Euclidiana }.
POLÍGONO .
La palabra polígono está formada por dos voces de origen griego : polys { mucho } y gonia { ángulo }.
TRIÁNGULO .
Dados tres puntos del plano , no alineados y tales que las rectas determinadas por dos de los puntos consecutivos deje al restante en un mismo semiplano , se llama triángulo a la intersección de todos semiplanos .
RECTÁNGULO.
Es el paralelogramo con los lados opuestos iguales y los cuatro ángulos rectos , si un paralelogramo tiene un ángulo recto , los demás ángulos también son rectos.
ROMBO.
Es el paralelogramo que tiene los cuatro lados iguales y los ángulos opuestos iguales dos a dos , si un paralelogramo tiene dos lados consecutivos iguales , los cuatro lados son iguales.
CUADRADO.
Es el paralelogramo que tiene los cuatro lados iguales y los cuatro ángulos rectos, por ser un paralelogramo , el cuadrado goza de todas sus propiedades , además .
1} por tener cuatro lados iguales es un rombo y goza de las propiedades del mismo .
2 } por tener cuatro ángulos rectos es un rectángulo y goza de las propiedades del mismo.
En consecuencia todo cuadrado es rombo y todo cuadrado es rectángulo sus propiedades especiales son .
1 } las diagonales y las bases medias del cuadrado son ejes de simetria .
2} la diagonal del cuadrado es bisectriz del ángulo recto .
observaciones = es el único cuadrilatero que es polígono regular .
Un triángulo tiene siempre dos ángulos agudos , cuando el tercer ángulo es recto , el triángulo se denomina rectángulo ; cuando es obtuso , obtusángulo , y si también es agudo , acutángulo
NOTA: la obtención de un triángulo equilátero perfecto se consigue mediante la intersección de dos circunferencias . otras propiedades de los triángulos son la existencia de dos ángulos agudos , que el lado mayor es menor que la suma de los otros dos , y que la suma de todos sus ángulos es igual al ángulo llano o sea ciento ochenta grados.
TRIÁNGULO ISÓSCELES.
La unión ideal de tres puntos geográficos nos permite obtener la figura de un triángulo con dos lados y dos ángulos iguales se trata de triángulos isósceles. No paralelogramos .
TRAPECIO .
Es el cuadrilátero que no tiene ningún par de lados paralelos. los trapecios pueden ser , rectángulos , isósceles , o escalenos.
TRAPEZOIDE .
Es el cuadrilátero que no tiene ningún par de lados paralelos.
ROMBOIDE .
Es el trapezoide especial que tiene dos lados consecutivos iguales y los otros dos lados iguales , pero distintos de los anteriores.
CIRCUNFERENCIA Y CIRCULO.
Se llama circunferencia de centro O y radio r al conjunto de los puntos del plano que están a una distancia igual a r del centro O.
C { O; r } se lee : circunferencia de centro O y radio r.
Se llama círculo al conjunto de una circunferencia más los puntos interiores a la misma , aunque a veces se confunden ambos conceptos , obsérvece que geométricamente , la circunferencia es una linea ; en cambio , el círculo es una superficie.
PROPIEDADES DEL DIÁMETRO.
1 } El diámetro es la mayor de las cuerdas que pueden trazarse en una circunferencia .
2 } su longitud es doble de la del radio .
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AB = 2 r.
3 } el diámetro divide a la circunferencia en dos partes iguales llamados semicircunferencias.
4 } divide al círculo en dos partes iguales llamados semicirculos.
5 -} todo diámetro de una circunferencia perpendicular a una cuerda divide a ésta en dos partes iguales.
Superficie : se refiere a la forma { puede ser una superficie triángular cuadrada, circular }.
ÁREA : es la médida de la superficie se refiere al tamaño , para medir una supeficie se toma como unidad un cuadrado cuyo lado sea igual a la unidad de longitud.
UNIDADES DE SUPERFICIE .
La unidad básica para medir superficies es un cuadrado cuyo lado tiene un metro de longitud : o sea el metro cuadrado.
FIGURAS EQUIVALENTES .
Son aquellas que son iguales o que se obtienen sumando figuras iguales , las figuras equivalentes tienen igual área . { su tamaño es el mismo aunque varie su forma }.
EQUIVALENCIA DE FIGURAS.
1 } si dos paralelogramos tienen igual base e igual altura , son equivalentes .
2 } si dos rectángulos tienen igual base e igual altura, son equivalentes .
3 } si dos triángulos tienen igual base e igual altura , son equivalentes .
4 } un triángulo y un paralelogramo que tienen igual altura y la base del triángulo es el doble de la base del paralelogramo son equivalentes .
Esta propiedad incluye , por extensión , la equivalencia entre un triángulo y un rectángulo y entre un triángulo y un cuadrado , con sólo cumplir la condicción enunciada.
5 } un triángulo y un trapecio que tienen igual altura y la base del triángulo es igual a la suma de las bases del trapecio , son equivalentes
TEOREMAS SOBRE ÁREAS.
Área de un rectángulo : el área de un rectángulo es igual al producto de su base por altura .
Área de un cuadrado : el área de un cuadrado es igual al cuadrado del lado.
Área de un triángulo : el área de un triángulo es igual a la mitad del producto de su base por su altura.
Área de un rombo: el área del rombo es igual a la mitad del producto de sus diagonales .
ÁREA DE UN TRAPECIO .
El área de un trapecio es igual a la semisuma de sus bases multiplicado por su altura .
ÁREA DE UN POLIGONO REGULAR .
El área de un poligono regular es igual al producto de su semiperímetro por su apotema,
Área de un círculo es igual al producto de { Pi } por el cuadrado del radio , se puede considerar .
{ Pi }= 3,14 o { Pi } = 3,1416.
ÁREA DE UNA CORONA CIRCULAR .
NOTA : EUCLIDES - la adquisición de un conocimiento es siempre valiosa por si misma .
El área de una corona circular de radios r y r´ es igual al producto de { Pi } por la diferencia de cuadrados de dichos radios .
ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR .
El área de un sector circular : es igual a la mitad del producto de la longitud de su arco por el radio.
COROLARIO .
El área de un sector circular es equivalente a la de un triángulo que tiene por base la longitud del arco que limita al sector y por altura el radio de la circunferencia .
PRISMA .
Se llama prisma al paliedro limitado por varios paralelogramos y dos polígonos cuyos planos son paralelos .
Altura del prisma :es la distancia desde al plano que contiene la otra base, el prisma cuyas aristas laterales son perpendiculares a los planos de la base se llama prisma oblicuo .
PRISMA RECTO.
Es el prisma cuyas aristas laterales son perpendiculares a los planos de las bases , las caras laterales de un prisma recto son rectángulares , si el prisma es recto regular sus caras laterales son rectángulos iguales y sus bases son polígonos regulares.
Si las bases de un prisma son triángulos , el prisma es triangular , si las bases de un prisma son cuadriláteros el prisma es cuadrangular , si las bases de un prisma son pentágonas el prisma es pentagonal.
CUBO.
Es el ortoedro que tiene todas sus aristas y sus seis caras son cuadrados , se llama también hexoedro , regular .
PIRAMIDE .
Es el paliedro que tiene una cara que es un poligono cualquiera al que se le llama base y las caras laterales son triángulos que tienen un punto en común llamados vértice.
PIRAMIDE REGULAR .
Se llama asi la piramide cuya base es un polígono regular , y el pie de la altura es el centro de dicho poligono .
PROPIEDADES
1 } si una pirámide es regular , sus caras laterales son triángulos , isósceles iguales .
2 } la altura de cada uno de dichos triángulos se llama apotema de la pirámide.
3 } sus aristas laterales son iguales cuando una pirámide regular se secciona con un plano paralelo a su base , se llama tronco de pirámide regular a la parte de la pirámide comprendida entre el plano y la base .PIRAMIDE REGULAR .
Bastará determinar la superficie de uno de los triángulos isósceles , que son cora laterales y multplicarla por el número de caras de la pirámide , { en general la expresamos con { n }.
Si unimos cuatro tiras iguales dos a dos, de modo que las parejas iguales son consecutivas , obtendremos un cuadrilátero deltoide , si la tira de una longitud le sigue otra de longitud distinta obtendremos un cuadrilatero paralelogramo.
CILINDRO .
Superficie cilindrica de revolución ; es la superficie engendrada por una recta llamada generatriz que gira paralela a otra llamada eje, cumpliendo la condición de que durante la rotación mantienen entre si la misma distancia.
CILINDRO CIRCULAR RECTO .
Es la parte del espacio limitada por una superficie cilindrica de revolución comprendida entre dos planos perpendiculares a su eje.
ALTURA DEL CILINDRO CIRCULAR RECTO.
Es la distancia entre las bases o. lo que es equivalente , la longitud de su generatriz .
CONO.
Superficie conica de revolución : es la superficie engendrada por una semirrecta que gira alrededor de un eje perpendicular al plano de una circunferencia en su centro , cumpliendo la condición de que su origen pertenece al eje y no es perpendicular a él el punto V se llama vértice.
CONO CIRCULAR RECTO.
La sección que produce dicho plano es un círculo con centro en el eje : dicho círculo se llama base .
Altura es la distancia desde el vértice al plano de la base.
El radio de la base es el radio del cono .
Observación : al cono circular recto se lo puede considerar como el cuerpo geométrico engendrado por la revolución completa de un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos .
Tronco de cono de bases paralelas es el conjunto de puntos del cono circular recto ,comprendido entre la base yun plano paralelo a ella: los circulos que la limitan se llaman bases ,altura es la distancia entre las bases.
Oservaciones : el tronco de cono debases paralelas es el cuerpo geométrico emgendrado por la revolución completa de un trapecio rectángulo alrededor de un eje que contiene al lado que forma los ángulos rectos.
ESFERA .
Superficie esférica de revolución : es la superficie engendrada por una semicircunferencia que gira alrededor de su diámetro , todos los puntos de la superficie esférica equidistan de un punto llamado centro, la distancia desde dicho punto a cualquiera de la superficie esférica se llama radio .
Esfera : es el conjunto de todos los puntos de la superficie esférica de revolución y todas las interiores a la misma .
Observación : se puede considerar la esfera como el cuerpo geométrico engendrado por la revolución completa de un semicirculo alrededor de un eje que contiene se diámetro ...
ÁREA -- superficie esférica = 4 { Pi } radio al cuadrado.
Segmento esférico.
Es la parte de la esfera comprendida dos planos paralelos .
HUSO ESFÉRICO.
Es la intersección de una superficie con un ángulo diedro cuya arista contiene al centro de la esfera.
CUÑA ESFÉRICA.
Es la intersección de una esfera con un ángulo diedro que contiene al centro de la esfera.
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