RAZONES Y PROPORCIONES GEOMÉTRICAS .

Para  poder  calcular  superficies y volúmenes  es necesario elevar números a la segunda y tercera potencia.
TALES  DE MILETO  { 639--HASTA 545 A,C .}
" Todo    diámetro   divide al círculo  en dos partes iguales  " " los ángulos  de la base  de un  triángulo  isosceles  son iguales ".
RIEMAN  { 1826 --1866 } , define el  espacio  " como un conjunto  de puntos  dados  por sus coordenadas , con una métrica  que permita medir  la distancia  entre dos de ellos  o la longitud  de una curva."
ARQUIMEDES { 287---212 A.C. }
Razón : dados dos números  en un cierto  orden, distinto  de cero , se llama razón  al cociente entre ellos .
Proporción :  dados cuatro números  distintos  de cero , en un cierto orden , constituyen  una proporción , si la razón  de los dos  primeros  es igual a la razón  de los dos segundos .
" se dice que una proporción  es continua cuando sus medios son iguales.
REGLA DE TRES .
Una  de las más importantes  aplicaciones  de las proporciones  está en la resolución  de los problemas  de regla de tres  simple y compuesta.
Ejemplo.  si  5 libros  de lectura  costaron  210 $  ¿ cuál es el   precio de la docena de libros ?.
5--------------210 $.
12--------------x.
x = 12 x 210  = 504 $.
-------------------
          5
El precio de la docena  de libros es 504 $.
REGLA  DE SOCIEDAD  Y COMPAÑIA .
Cuando  varias  personas  colocan  dinero  en un negocio  en común , lo que  se gana  o se pierde  en el mismo  se debe  repartir  en forma  proporcional  o lo que cada uno  colocó  y al tiempo  que tuvo colocado dicho dinero.
De la  colocación  de dinero  en común  se derivan  problemas  que se conocen  con la denominación  de
" problemas  de sociedad  o compañia  " se pueden presentar distintos casos."
1}  Que  los socios  coloquen  distintos  capitales  durante un mismo tiempo.
2 }  Que los socios  coloquen  iguales  capitales  durante distintos tiempo.
3 } Que  los socios  coloquen  distintos  capitales  durante  distintos tiempos  para mejor analizar  la situación  de cada caso , lo resolveremos  planteando  un problema en cada caso.
1 } En este caso , la ganancia  o pérdida  de cada uno  depende  del capital  colocado ; el problema  se reduce  así , a un simple problema de repartición  directamente  proporcional.
En este caso  la ganancia  o pérdida  de cada socio  depende del mayor  o menor  tiempo  que tenga  colocado  su dinero .
Los problemas  de este tipo  se resuelven  mediante  una regla de tres  directamente  proporcional  a los tiempos que cada capital ha estado colocado.
SEGMENTOS PROPORCIONALES .
Dados cuatro segmentos  en un cierto  orden , si la razón  de los dos primeros  es igual a la razón  de los  dos segundos , dichos segmentos forman una proporción , las proporciones  entre segmentos  gozan de las mismas propiedades que las proporciones  númericas.
PROPIEDADES .
Si  tres o más paralelas  son cortadas  por  2 transversales , o segmentos  iguales  en una de ellas  les corresponden  segmentos  iguales  en la otra .
segmentos iguales  : x //   y  // z // v :
TEOREMA DE TALES .
Si tres  o más paralelos  son cortados  por dos  transversales , a segmentos  proporcionales  en una de ellas  les corresponden  segmentos  proporcionales  en la otra .
" toda paralela  a un lado  de un  triángulo  divide   a la otra  dos segmentos proporcionales ".
De acuerdo con la definición  de proporciones  se deduce  que para que un segmento X  sea cuarto proporcional  a otros segmentos  dados  m, n,p , se debe verificar que :
m = p
--  ---.
n     x .
El hombre  habla del hexágono  regular  como un polígono de seis lados iguales que forman  seis ángulos de 120°  .
EL TRAPECIO.
Los trapecios  son cuadriláteros con dos lados  opuestos  paralelos , cuando los otros dos lados no son paralelos , tendremos el trapecio escaleno , contodos los lados distintos .
El trapecio isósceles  cuando  los lados  opuestos  no paralelos  son iguales  mientras que diremos  que un trapecio es rectángulo  cuando tiene dos ángulos rectos.
Toda bisectriz  de un ángulo  interior  de un triángulo   divide al lado opuesto en segmentos proporcionales a los otros dos lados.
En toda  bisectriz  de un ángulo exterior  de un triángulo  que corta a la prolongación  del lado opuesto,los segmentos determinados por cada uno de los extremos  de ese lado con el punto de intersección son proporcionales a los otros dos lados .
TRIÁNGULOS SEMEJANTES.
Dos  triángulos son semejantes cuando sus ángulos son respectivamente  iguales y sus lados  homólogos proporcionales, dos triángulos equiláteros  cualesquiera son semejantes .
RELACIÓN DE EQUIVALENCIA.
Para que una relación  sea de equivalencia  debe cumplir con las propiedades  reflexiva , simétrica y transitiva.
1}  Reflexiva : todo triángulo es semejante  a si mismo.
2} Simétrica : si un triángulo es semejante  a otro éste es semejante al primero.
3} Transitiva : si un  triángulo  es semjante  a otro y éste semejante   a un  tercero, el primero  es semejante  al tercero.
Para cumplir  estás propiedades , la semejanza  de  triángulos es una relación  de equivalencia.
Teorema  fundamental  de la semejanza  de triángulos.
Toda paralela  a un lado de un triángulo determina , con las rectas  a que pertenecen los otros  dos lados , un triángulo semejante al dado.
Casos de semejanza de triángulo.
Cuatro son los casos  de semejanza  de triángulos  y nos permite  determinar  dos triángulos  semejantes  en problemas  posteriores .
1}  DOS triángulos  que tienen 2 lados respectivamente  proporcionales y el ángulo comprendido igual son semejantes .
2 } DOS  triángulos  que tienen  2  ángulos  respectivamente  iguales son semejentes .
3 } DOS  triángulos  que tienen 3  lados  respectivamente  proporcionales  son semejantes .
4 } DOS  triángulos que tienen  2 lados respectivamente proporcionales  y el ángulo opuesto al mayor de ellos  son  semejantes .
Casos de semejanza de triángulos  rectángulos .
1 } DOS  triángulos  rectángulos  que tienen  sus catetos  proporcionales  son semejantes .
2 } DOS  triángulos  rectángulos  que tienen  un ángulo  agudo igual  son semejantes .
3 } DOS  triángulos rectángulos  que tienen la hipotenusa  y un par de catetos  proporcionales son semejantes.
PROPIEDAD de las alturas de dos triángulos semejantes .
1 } Las alturas  homólogas  de dos triángulos  semejantes  son proporcionales  a los lados correspondientes
2 } Las alturas homólogas  de dos triángulos  semejantes  son proporcionales .
Polígonos  semejantes .
Un   polígono  es semejante  a otro  cuando  sus lados son proporcionales y sus ángulos respectivamente iguales.
Teorema  fundamental  de la semejanza  de polígonos .
Si por  un punto  cualquiera del primer lado de un polígono  se traza una paralela  al segundo lado , hasta cortar la primera   diagonal , y por esta intersección  una paralela  al tercer lado, hasta cortar a la segunda diagonal, y asi sucesivamente hasta cortar  al último lado, el polígono que resulta es semejante al dado.
RAZÓN  de los perimetros de  dos polígonos  semejantes .
La razón de los perimetros  de dos  poligonos  semejantes es igual a la razón  de dos cualesquiera  de sus lados  homólogos .
RAZÓN  de las superficies  de dos triángulos  semejantes.
La razón  de las superficies de dos triángulos  semejantes  es igual al cuadrado  de la razón  de un par  de lado homologos .
RAZÓN  de las superficies  de dos poligonos  semejantes .
La razón  de la  superficie  de dos poligonos  semejantes es igual al cuadrado de la razón de un par  de lados homólogos .
TALES DE MILETO.
Establecio  los principios  de la geometria, razonamiento lógico.
El famoso teorema de tales :  los segmentos  determinados  por una serie  de  paralelas  cortadas por dos transversales  son proporcionales.
EL PLACER SUPREMO ES OBTENER LO QUE SE ANHELA.

















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