Dice BOREL , en Les Grands Courants de la Pensée matemática puede definirse , cada vez con más razón como la ciencia que estudia las relaciones entre ciertos abstractos, definidos también de manera abstracta, sin otra condición que su compatibilidad, es decir, la no contradicción entre esas definiciones
Pero ,¿ qué son entes abstractos ? Consideremos , los dos procesos intelectuales opuestos de abstracción y discriminación .La abstracción consiste en apreciar analogías prescindiendo de las diferencias ,mientras que la discriminación , al contrario , consiste en apreciar diferencias prescindiendo de las analogías ..
De las relaciones de igualdad o equivalencia , esto es , con los tres caracteres : idéntico --- cada objeto es igual a si mismo ---, recíproco---si un objeto es igual a otro, éste lo es aquél---, y transitivo ------ dos objetos iguales a un tercero son iguales entre si ----, surge , si se prescinde de las diferencias entre objetos iguales , el substratum común a todos ellos , que es un abstracto : el ejemplo más sencillo lo ofrece el número natural o cardinal de una colección finita de objetos , que surge , al prescindir de la naturaleza de dichos objetos , en la coordinación o correspondencia biunívoca de los conjuntos finitos . Este proceso de abstracción es sin duda inconsciente , porque el concepto de número natural es primitivo en el hombre civilizado , y anterior a toda noción matemática .
Del cálculo con números se pasa al cálculo con letras que representen indistintamente cualquier número ; este procedimiento , hoy familiar a los alumnos de la institución elemental , se consideró entonces como abstracción de abstracciones . La carrera de abstracciones así emprendida ha conducido finalmente a la colosal obra de N. BOURBAKI , Eléments des Mathématiques , que recoge , sistematizados , los últimos resultados de la matemática actual. Se ha llegado así a la unidad de la matemática , con independencia de cualquier escuela filosófica .
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