Definiciones : Se da el nombre de interés o rédito de una cantidad de dinero o capital al beneficio que produce al que lo presta o impone durante cierto tiempo , y se llama regla de interés al procedimiento aritmético que se sigue para resolver los problemas con él relacionados .
Se llama TANTO POR CIENTO al interés que produce 100 unidades monetarias en la unidad de tiempo , que es generalmente un año . El interés que corresponde a un capital cualquiera en ese mismo tiempo , se llama renta .
Resolveremos primeramente algunos problemas relativos al tanto por ciento.
1-- Hallar el tanto por ciento de un número determinado.
Problema . En una venta se ha obtenido un beneficio del 20 % sobre el precio de compra . Calcular el beneficio total.
Beneficio = precio de compra x 20
--------
100
2-- Calcular la cantidad conociendo el tanto por ciento.
Problema . ¿ Qué cantidad de trigo será necesaria para obtener 600 kg de harina , sabiendo que el trigo produce el 80 % aproximadamente de su masa en harina ?
la masa de trigo es el 100
------de la masa de harina , o sea ;600x 100
80 -----------= 750 kg.
80
miércoles, 29 de julio de 2015
REGLA DE COMPAÑIA
La regla de compañía indica la forma como hay que repartir la ganancia o pérdida de un capital social entre los socios , proporcionalmente a los capitales respectivos y al tiempo que han estado impuestos .
Pueden presentarse varios casos;
1---- Si los capitales de los socios son iguales , pero han estado impuestos diferente tiempo , el reparto se hará proporcionalmente al tiempo;
2----Si los capitales son distintos , pero han estado impuestos el mismo tiempo , el reparto se hará proporcionalmente a los capitales .
3----Si tanto los capitales como los tiempos que han estado impuestos son diferentes para cada socio , es evidente que el reparto deberá hacerse proporcionalmente a los productos de los respectivos capitales por los tiempos correspondientes .
En los dos primeros casos , la regla de compañía se llama simple , y en el tercero , compuesta .
Es evidente que la regla de compañía no es más que una aplicación del problema anterior de repartimientos proporcionales .
PROBLEMA .
Dos socios fundan una empresa comercial , siendo sus aportaciones respectivas 5 600 000 ptas y 7 500 000 ptas ; seis mese después , se adhiere un tercer socio con un capital de 1 250 000 ptas . El beneficio obtenido al cabo de un año es de 1 338 750 ptas , que deben repartirse los tres socios . ¿ Qué cantidad corresponderá a cada socio ?.
La ganancia obtenida deberá repartirse proporcionalmente a los productos de los capitales por los tiempos correspondientes , es decir , a :
5 600 000 x 12, 7 500 000 x 12 , 1 250 000 x 6 ,
o bien a
224,300 y 25 .
parte del primero = 1 338 750 x 224
-------------------- = 546 230 ptas .
549
parte del segundo =1 338 750 x 3000
-------------------- = 731 557 ptas .
549
parte del tercero = 1 338 750 x 25
------------------ =60 963 ptas
549 -------------
Total .................. 1 338 750 ptas .
Pueden presentarse varios casos;
1---- Si los capitales de los socios son iguales , pero han estado impuestos diferente tiempo , el reparto se hará proporcionalmente al tiempo;
2----Si los capitales son distintos , pero han estado impuestos el mismo tiempo , el reparto se hará proporcionalmente a los capitales .
3----Si tanto los capitales como los tiempos que han estado impuestos son diferentes para cada socio , es evidente que el reparto deberá hacerse proporcionalmente a los productos de los respectivos capitales por los tiempos correspondientes .
En los dos primeros casos , la regla de compañía se llama simple , y en el tercero , compuesta .
Es evidente que la regla de compañía no es más que una aplicación del problema anterior de repartimientos proporcionales .
PROBLEMA .
Dos socios fundan una empresa comercial , siendo sus aportaciones respectivas 5 600 000 ptas y 7 500 000 ptas ; seis mese después , se adhiere un tercer socio con un capital de 1 250 000 ptas . El beneficio obtenido al cabo de un año es de 1 338 750 ptas , que deben repartirse los tres socios . ¿ Qué cantidad corresponderá a cada socio ?.
La ganancia obtenida deberá repartirse proporcionalmente a los productos de los capitales por los tiempos correspondientes , es decir , a :
5 600 000 x 12, 7 500 000 x 12 , 1 250 000 x 6 ,
o bien a
224,300 y 25 .
parte del primero = 1 338 750 x 224
-------------------- = 546 230 ptas .
549
parte del segundo =1 338 750 x 3000
-------------------- = 731 557 ptas .
549
parte del tercero = 1 338 750 x 25
------------------ =60 963 ptas
549 -------------
Total .................. 1 338 750 ptas .
martes, 28 de julio de 2015
REGLA DE TRES
La regla de tres es el procedimiento aritmético general que se emplea para resolver problemas del tipo siguiente.
Dado una magnitud A directa o inversamente proporcional a otras varias B,C, D, y conocidos los valores a, b, c, de estas magnitudes en un estado determinado , calcular el valor que corresponde a A cuando las magnitudes B ,C ,D , reciben nuevos valores b´, c´, d´.
Cuando sólo se trata de dos magnitudes , se dice que la regla de tres es simple ; en el caso contrario , se llama regla de tres compuesta.
REGLA DE TRES SIMPLE .
La regla de tres simple puede ser directa o inversa , según que las magnitudes de que se trate sean directas o inversamente proporcionales ..
Sean a y b las medidas de las dos magnitudes A y B en un primer estado ; llamemos x y b´ a los valores de las dos magnitudes A y B en un segundo estado , siendo x el valor desconocido de la magnitud A
Si las magnitudes son directamente proporcionales , tendremos :
x = b´,
-- ---, de donde x = ab´
a b -------
b
si las magnitudes son inversamente proporcionales , tendremos.
x = b
--- ---, de donde x = ab
a b´ -----
b´
REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA.
Problema .
con 38 kg de harina se hacen 57 kg de pan . ¿ Qué cantidad de harina será necesaria para fabricar 42 kg de pan ?
1- solución . Sea el número de kilos de harina necesarios . La masa de harina y la masa de pan correspondiente son dos magnitudes directamente proporcionales ; se tendrá , pues :
a = 38
--- ----
42 57
De donde se deduce :
a = 42 x 38
----------- =28 kg.
57
también puede emplearse el método llamado de reducción a la unidad.
2--- solución
Para hacer 57 kg de pan se necesitan 38 kg de harina .
---- 1 kg ------ 38
----- kg---
57--
--------------42 kg ---- 38 x 42
------- = 28 kg de harina
57
Observación : El primer método es el más sencillo . el segundo método conduce además algunas veces a un razonamiento que conviene evitar .Así por ejemplo resolvamos el problema siguiente : Un sombrerero ha comprado 5 sombreros iguales por 900 ptas . ¿ Cuántos sombreros podrá comprar con 720 ptas. ?
1---- método . sea a el número se sombreros comprados .Este número es directamente proporcional al precio de compra :
a 5 5 x 720
------- = -----, de donde a = -------- = 4 sombreros .
720 900 900
2---- Método de reducción a la unidad.
con 900 ptas , el sombrerero compra 5 sombreros
-------- 1 pta. -- -- 5
----
900
------- 720 pta. --- 5 x 720
--------= 4 sombreros
900
hemos encontrado el resultado exacto , pero el segundo razonamiento conduce a un absurdo : con 1 pta , el sombrerero comprará
5
------ de sombrero
900
REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA .
Problema ... con un barril pueden llenarse 252 botellas de 0.95 litros . ¿ cuántas botellas de 0.70 l podrán llenarse con el mismo barril ?
0.95 l ................. .................................252 botellas
0.70 l ...................................................x ---
1-- método .las magnitudes son inversamente proporcionales :
0,95
------= x
0,70 ----
252 .
de donde .
x =252 x 0,95
------------ = 342 botellas .
0,70
2-- método , se operará en la forma anterior :
si de 0.95 l se llenan 252 botellas
de 1,00 l se llenarían 252 x 0,95 botellas .
de 0,70 l se llenarían 252 x 0,95
-------------= 342 botellas .
0,70
.
Dado una magnitud A directa o inversamente proporcional a otras varias B,C, D, y conocidos los valores a, b, c, de estas magnitudes en un estado determinado , calcular el valor que corresponde a A cuando las magnitudes B ,C ,D , reciben nuevos valores b´, c´, d´.
Cuando sólo se trata de dos magnitudes , se dice que la regla de tres es simple ; en el caso contrario , se llama regla de tres compuesta.
REGLA DE TRES SIMPLE .
La regla de tres simple puede ser directa o inversa , según que las magnitudes de que se trate sean directas o inversamente proporcionales ..
Sean a y b las medidas de las dos magnitudes A y B en un primer estado ; llamemos x y b´ a los valores de las dos magnitudes A y B en un segundo estado , siendo x el valor desconocido de la magnitud A
Si las magnitudes son directamente proporcionales , tendremos :
x = b´,
-- ---, de donde x = ab´
a b -------
b
si las magnitudes son inversamente proporcionales , tendremos.
x = b
--- ---, de donde x = ab
a b´ -----
b´
REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA.
Problema .
con 38 kg de harina se hacen 57 kg de pan . ¿ Qué cantidad de harina será necesaria para fabricar 42 kg de pan ?
1- solución . Sea el número de kilos de harina necesarios . La masa de harina y la masa de pan correspondiente son dos magnitudes directamente proporcionales ; se tendrá , pues :
a = 38
--- ----
42 57
De donde se deduce :
a = 42 x 38
----------- =28 kg.
57
también puede emplearse el método llamado de reducción a la unidad.
2--- solución
Para hacer 57 kg de pan se necesitan 38 kg de harina .
---- 1 kg ------ 38
----- kg---
57--
--------------42 kg ---- 38 x 42
------- = 28 kg de harina
57
Observación : El primer método es el más sencillo . el segundo método conduce además algunas veces a un razonamiento que conviene evitar .Así por ejemplo resolvamos el problema siguiente : Un sombrerero ha comprado 5 sombreros iguales por 900 ptas . ¿ Cuántos sombreros podrá comprar con 720 ptas. ?
1---- método . sea a el número se sombreros comprados .Este número es directamente proporcional al precio de compra :
a 5 5 x 720
------- = -----, de donde a = -------- = 4 sombreros .
720 900 900
2---- Método de reducción a la unidad.
con 900 ptas , el sombrerero compra 5 sombreros
-------- 1 pta. -- -- 5
----
900
------- 720 pta. --- 5 x 720
--------= 4 sombreros
900
hemos encontrado el resultado exacto , pero el segundo razonamiento conduce a un absurdo : con 1 pta , el sombrerero comprará
5
------ de sombrero
900
REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA .
Problema ... con un barril pueden llenarse 252 botellas de 0.95 litros . ¿ cuántas botellas de 0.70 l podrán llenarse con el mismo barril ?
0.95 l ................. .................................252 botellas
0.70 l ...................................................x ---
1-- método .las magnitudes son inversamente proporcionales :
0,95
------= x
0,70 ----
252 .
de donde .
x =252 x 0,95
------------ = 342 botellas .
0,70
2-- método , se operará en la forma anterior :
si de 0.95 l se llenan 252 botellas
de 1,00 l se llenarían 252 x 0,95 botellas .
de 0,70 l se llenarían 252 x 0,95
-------------= 342 botellas .
0,70
.
lunes, 27 de julio de 2015
MATEMÁTICA ESTRUCTURAL Y MATEMÁTICA CLÁSICA
Se llama actualmente estructura a todo sistema de entes abstractos mutuamente relacionados por ciertas proposiciones o axiomas que , como en la definición de espacio , son compatibles e independientes . En primer lugar , existen tres estructuras madres : las algebraicas , definidas solamente mediante adiciones y substracciones o multiplicaciones o divisiones , con las propiedades del cálculo aritmético , salvo la Conmutativa que no siempre se cumple ( su estudio constituye el álgebra actual , que se ha denominado moderna , abstracta , etc. para distinguir del álgebra clásica , que era el estudio de los polinomios con coeficiente numéricos y el cálculo de sus raíces ,.) , las de orden , donde se definen los elementos posteriores a otro elemento de modo que se cumpla la propiedad Transitiva , y que contienen como casos particulares los números ordinales y transfinitos , los filtros , los conjuntos dirigidos etc, y la topológicas en que se definen la vencidad , acumulación o contorno . Estas estructuras se combinan entre si , obteniéndose así una clasificación armónica , que pudiera llamarse estructural , de la matemática actual.
ANALISIS Y GEOMETRIA
La geometría es, en cambio , según F. KLEIN , el estudio de las propiedades de las figuras o conjuntos de puntos de un espacio que permanecen invariantes en las transformaciones de un grupo , es decir , de las propiedades comunes a una figura y a sus transformadas en un conjunto de operaciones que contengan la operación o correspondencias que contenga la operación idéntica que deja invariante a cada figura : la inversa de una operación , es decir, la que hace corresponder a una figura transformada la figura primitiva ,y el producto de dos operaciones , o sea la que resulta de aplicarla sucesivamente . Cada grupo de transformaciones define, pues , una igualdad o equivalencia con los tres caracteres , idéntico, recíproco , y transitivo ,entre cada figura y su transformada ; y recíprocamente , cada igualdad o equivalencia define un grupo de operaciones o transformaciones que se obtienen asignando a cada figura una de sus equivalentes ; Los invariantes en las transformaciones del grupo son los entes abstractos nacidos de la equivalencia correspondiente, cuyo estudio constituye la GEOMETRIA basada en dicho grupo.
sábado, 25 de julio de 2015
LA NOCIÓN DE ESPACIO.
Hay que distinguir el espacio real , que es el que perciben nuestros sentidos ; el espacio intuitivo , representación mental del anterior, y el espacio abstracto , conjunto de entes abstractos cualesquiera , con ciertas relaciones expresadas por axiomas o postulados exentos de contradicciones y mutuamente independientes.
DESCARTES ( 1596--1650 ) , al crear la geometría analítica ,fundió el análisis y la geometría . La aplicación sistemática del cálculo infinitesimal a los problemas geométricos originó la geometría diferencial , que permitió a Minkowski, Lorenz y Einstein la creación del cálculo diferencial absoluto, el cual, a su vez , permitió a este último formular su teoría de la relatividad generalizada, actualmente discutida por Majorana , Milne , Burniston ,Brown ,Rapier, Álvarez López , Dingle , etc.
Fue FRÉCHET quien creó la teoría de espacios abstractos , es decir, formados por entes cualesquiera que verifiquen las relaciones de compatibilidad a que se refiere .La noción de dimensión tenia que ser ampliada a estos espacios ; así lo hizo FRECHET
KEPLER pudo descubrir las órbitas de los planetas y de los cometas porque diecinueve siglos antes , los griegos habían hecho un estudio sistemático , aunque puramente teórico, , de las secciones de un cono por un plano , las denominadas cónicas ,; y la creación del cálculo diferencial absoluto , indispensable , como ya hemos dicho ,para la expresión de las leyes de la relatividad de Einstein ampliamente desarrollada .
La especialización que hoy impone cada rama de la ciencia no permite , normalmente , que surjan figuras como aquellos sabios antiguos que eran a la vez , filósofos , matemáticos y físicos .
DESCARTES ( 1596--1650 ) , al crear la geometría analítica ,fundió el análisis y la geometría . La aplicación sistemática del cálculo infinitesimal a los problemas geométricos originó la geometría diferencial , que permitió a Minkowski, Lorenz y Einstein la creación del cálculo diferencial absoluto, el cual, a su vez , permitió a este último formular su teoría de la relatividad generalizada, actualmente discutida por Majorana , Milne , Burniston ,Brown ,Rapier, Álvarez López , Dingle , etc.
Fue FRÉCHET quien creó la teoría de espacios abstractos , es decir, formados por entes cualesquiera que verifiquen las relaciones de compatibilidad a que se refiere .La noción de dimensión tenia que ser ampliada a estos espacios ; así lo hizo FRECHET
KEPLER pudo descubrir las órbitas de los planetas y de los cometas porque diecinueve siglos antes , los griegos habían hecho un estudio sistemático , aunque puramente teórico, , de las secciones de un cono por un plano , las denominadas cónicas ,; y la creación del cálculo diferencial absoluto , indispensable , como ya hemos dicho ,para la expresión de las leyes de la relatividad de Einstein ampliamente desarrollada .
La especialización que hoy impone cada rama de la ciencia no permite , normalmente , que surjan figuras como aquellos sabios antiguos que eran a la vez , filósofos , matemáticos y físicos .
DEFINICIÓN DE LA MATEMÁTICA
Dice BOREL , en Les Grands Courants de la Pensée matemática puede definirse , cada vez con más razón como la ciencia que estudia las relaciones entre ciertos abstractos, definidos también de manera abstracta, sin otra condición que su compatibilidad, es decir, la no contradicción entre esas definiciones
Pero ,¿ qué son entes abstractos ? Consideremos , los dos procesos intelectuales opuestos de abstracción y discriminación .La abstracción consiste en apreciar analogías prescindiendo de las diferencias ,mientras que la discriminación , al contrario , consiste en apreciar diferencias prescindiendo de las analogías ..
De las relaciones de igualdad o equivalencia , esto es , con los tres caracteres : idéntico --- cada objeto es igual a si mismo ---, recíproco---si un objeto es igual a otro, éste lo es aquél---, y transitivo ------ dos objetos iguales a un tercero son iguales entre si ----, surge , si se prescinde de las diferencias entre objetos iguales , el substratum común a todos ellos , que es un abstracto : el ejemplo más sencillo lo ofrece el número natural o cardinal de una colección finita de objetos , que surge , al prescindir de la naturaleza de dichos objetos , en la coordinación o correspondencia biunívoca de los conjuntos finitos . Este proceso de abstracción es sin duda inconsciente , porque el concepto de número natural es primitivo en el hombre civilizado , y anterior a toda noción matemática .
Del cálculo con números se pasa al cálculo con letras que representen indistintamente cualquier número ; este procedimiento , hoy familiar a los alumnos de la institución elemental , se consideró entonces como abstracción de abstracciones . La carrera de abstracciones así emprendida ha conducido finalmente a la colosal obra de N. BOURBAKI , Eléments des Mathématiques , que recoge , sistematizados , los últimos resultados de la matemática actual. Se ha llegado así a la unidad de la matemática , con independencia de cualquier escuela filosófica .
Pero ,¿ qué son entes abstractos ? Consideremos , los dos procesos intelectuales opuestos de abstracción y discriminación .La abstracción consiste en apreciar analogías prescindiendo de las diferencias ,mientras que la discriminación , al contrario , consiste en apreciar diferencias prescindiendo de las analogías ..
De las relaciones de igualdad o equivalencia , esto es , con los tres caracteres : idéntico --- cada objeto es igual a si mismo ---, recíproco---si un objeto es igual a otro, éste lo es aquél---, y transitivo ------ dos objetos iguales a un tercero son iguales entre si ----, surge , si se prescinde de las diferencias entre objetos iguales , el substratum común a todos ellos , que es un abstracto : el ejemplo más sencillo lo ofrece el número natural o cardinal de una colección finita de objetos , que surge , al prescindir de la naturaleza de dichos objetos , en la coordinación o correspondencia biunívoca de los conjuntos finitos . Este proceso de abstracción es sin duda inconsciente , porque el concepto de número natural es primitivo en el hombre civilizado , y anterior a toda noción matemática .
Del cálculo con números se pasa al cálculo con letras que representen indistintamente cualquier número ; este procedimiento , hoy familiar a los alumnos de la institución elemental , se consideró entonces como abstracción de abstracciones . La carrera de abstracciones así emprendida ha conducido finalmente a la colosal obra de N. BOURBAKI , Eléments des Mathématiques , que recoge , sistematizados , los últimos resultados de la matemática actual. Se ha llegado así a la unidad de la matemática , con independencia de cualquier escuela filosófica .
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